Liao2018-impedance_中文翻译

压电振动能量采集器的最大功率、最优负载与阻抗分析

Yabin Liao¹,³ 和 Junrui Liang² iD

1 美国宾夕法尼亚州立大学伊利校区，机械工程技术系，伊利，PA 16563
2 中国上海科技大学，信息科学与技术学院，浦东，上海 201210

电子邮箱：Yabin.Liao@psu.edu

收稿日期：2018年4月4日，修回日期：2018年5月29日

录用日期：2018年6月5日

发表日期：2018年6月22日

摘要

本文对压电能量采集器的最大功率输出进行了分析。研究发现，通过调谐包括线性和非线性在内的能量采集电路，存在一个总体的功率极限。该功率极限的意义在于，它代表了能量采集器最大可能的功率输出或容量。换言之，无论能量采集电路接口的类型和调谐方式如何，采集到的功率始终受此极限的限制。本文首先利用系统的机电耦合方程直接推导出功率极限以及达到该功率极限所需的最优广义电负载或阻抗，随后通过等效电路分析和阻抗匹配方法再次推导。这两种方法均是能量采集研究中常用的方法。本文致力于统一这两种方法，同时从两个不同的视角提供对功率极限的深入理解。在本文的第二部分，将功率极限和阻抗匹配结果应用于线性能量采集电路接口（即阻性能量采集电路，REH）和非线性电路接口（即标准AC-DC能量采集电路，SEH），以研究它们在阻抗匹配上的物理约束，并清晰解释其功率行为，例如最大功率以及机电耦合对功率的影响。此外，还获得了用于定义三类耦合（弱耦合、临界耦合、强耦合）的闭式表达式，即机械阻尼与有效机电耦合系数之间的关系。研究发现，SEH能量采集器需要约1.5倍于REH能量采集器的最小机电耦合才能达到功率极限，并且在相同强耦合水平下，SEH能量采集器的两个功率极限频率之间的带宽比REH能量采集器的更窄。

关键词：能量采集，压电，功率极限，最优电负载，阻抗，等效电路，最大功率

（部分图片仅在在线期刊中以彩色显示）

1. 引言

在过去的几十年中，可再生能源的研究与开发呈爆炸式增长。能量采集是从周围环境中捕获能量并将其转化为可用的电能的过程。存在多种可再生和可采集的能量源，包括废热、振动、电磁波、风能、流水和太阳能。能量采集的概念致力于开发自供电设备，这些设备不需要可更换的电源，例如用于结构健康监测的无线传感器、控制系统和可穿戴医疗设备。振动能量采集可以通过使用机电换能器来实现，如电磁式、静电式或压电式[1]。由于压电换能器在航空航天、机械、电气、医疗器械和消费电子等广泛应用领域中的普遍使用和认知（无论是用于传感还是作动），压电能量采集受到了极大的关注[2–4]。压电材料具有在受到机械应力时产生电荷的能力，这使得它成为从环境中丰富的振动中采集能量的合适材料。然而，总的来说，压电能量采集效率不高，采集到的功率较低。因此，为了为实际应用提供有用的功率，采集器需要体积较大，或者振动激励水平需要较高。然而，微电子技术的最新进展已使微机电无线传感器系统的功耗降低到低毫瓦甚至微瓦级别，这使得压电能量采集成为自供电无线传感器的可行解决方案[5]。

许多早期研究采用了Williams和Yates[6]提出的通用模型，该模型将能量采集效应建模为一个线性阻尼器。虽然这对电磁式能量采集器是准确的，但由于机电耦合效应（该效应与机械速度不成比例），它不适用于压电能量采集器（PEH）。此后，许多后续研究采用了Hagood等人[7]提出的机电耦合作动器-传感器方程，该方程考虑了这种耦合效应。由于大多数研究采用单自由度（SDOF）模型，许多工作集中在分布参数到集中参数的系统建模上，例如梁[8–11]和板（膜）[12–14]。

由于大多数实际能量采集应用涉及直流供电设备或储能组件（如电池或电容器），已经提出了几种能量采集电路方案来将交流功率转换为直流输出。常见的配置是由AC/DC整流器和平滑滤波器组成的标准接口。最值得注意的是，Ottman等人[15]研究了一个非耦合模型，该模型将振动结构表示为与内部电容并联的电流源，并假设结构响应不依赖于负载。Guyomar等人[16]在其建模和分析中考虑了耦合，但假设激励与采集器结构速度响应同相。Shu和Lien[17]开发了一个改进的模型和分析方法，同时考虑了机电耦合以及激励与响应之间的相位角。为了改善弱耦合能量采集器的功率性能，Guyomar等人[16]还提出了同步开关电感采集（SSHI）接口电路，该电路可以将采集功率提高四到九倍，尽管他们的分析仍基于同相假设。随后Shu等人[18]提出了考虑相位差的分析方法，并在[19]中对标准接口（SEH）和SSHI接口进行了详细比较。

这些模型展示并在实验中观察到的一个常见现象是，采集功率随系统机电耦合的增强而增加。然而，一旦耦合达到某个临界值，进一步增加耦合不会带来更多功率，即功率趋于饱和。此外，对于连接到不同电路接口的能量采集器，饱和功率水平保持不变。因此，似乎对于特定的能量采集器，存在一个总体的最大功率（功率极限）。采集器的功率特性取决于接口类型，但采集功率受此功率极限的限制。由于功率输出是能量采集器最重要的参数，确定功率极限和达到该极限所需的临界耦合具有重要意义。Williams和Yates[6]得到了功率极限的一个表达式。但如前所述，他们的模型没有考虑PEH的机电耦合效应，也没有准确建模PEH采集器的物理特性。最近，Liao和Sodano[20]考虑了耦合效应，并对连接到电阻性电路接口的采集器进行了精确分析。有趣的是，他们得到了与Williams和Yates相同的功率极限表达式。此外，Renno等人[21]研究了具有RL电路接口的采集器可能获得的最大功率，Liao和Sodano[22]分别研究了具有RC电路接口的采集器。然而，由于SEH和SSHI接口的非线性，无法进行解析分析。Guyomar等人[16]在同相和弱机电耦合假设下进行了最大功率分析，并且没有考虑耦合引起的谐振频率偏移。通常，能量采集器希望具有低阻尼以获得相对较大的结构响应，从而产生更多的应变能用于转换。

本文对连接到统一不同电路接口的广义电负载的能量采集器的功率极限进行了详细分析。最初的分析基于机电耦合方程。随后，利用系统的等效电路和阻抗匹配技术对功率极限进行了单独分析。之后，将研究结果应用于解释电阻性（REH）和标准（SEH）能量采集器的行为，特别是达到功率极限的临界机电耦合以及弱耦合或强耦合采集器分别表现出的单峰或双峰现象（这在文献中已得到清晰解释）。最后，通过阻抗图对REH和SEH能量采集器的行为进行比较和讨论，这为系统行为提供了有益的视觉化表示。

2. 基于机电耦合系统方程的直接功率分析

2.1. 梁式能量采集器的建模

根据Hagood等人[7]为压电系统定义的机电耦合传感/作动方程，可以得到在其谐振附近工作的PEH的线性SDOF模型如下：

$$M\ddot{w}(t)+C\dot{w}(t)+Kw(t)-\theta v(t)=f_{ext}(t),\text{\hspace{1em}(1)}$$ $$\theta w(t)+C_{p}v(t)=q(t),\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中 $w$ 是时域位移，$v$ 是电压，$q$ 是电荷，有效系统参数 $M,K,C,\theta ,C_p,f_{ext}$ 分别是质量、刚度、阻尼、机电耦合系数、电容和力。为便于讨论，本文以梁式能量采集器为例；然而，结果也可推广到其他构型，这些构型本质上具有相同形式的控制方程，只是有效系统参数的定义不同。

在梁式能量采集器的情况下，Liao和Sodano[9]定义了有效系统参数为：

$$M={\int }_{V_s}{\rho }_s\varphi (x)\varphi (x)\mathrm{d}{V}_s+{\int }_{V_p}{\rho }_p\varphi (x)\varphi (x)\mathrm{d}{V}_p$$ $$K={\int }_{V_s}{y}^2{\varphi }^{\prime \prime }(x)c_s{\varphi }^{\prime \prime }d{V}_s+{\int }_{V_p}{y}^2{\varphi }^{\prime \prime }(x)c^E{\varphi }^{\prime \prime }(x)d{V}_p$$ $$\theta =-{\int }_{V_p}y{\varphi }^{\prime \prime }(x)e^T\psi (y)\mathrm{d}{V}_p$$ $$C_p={\int }_{V_p}{\psi }^T(y){\epsilon }^S\psi (y)\mathrm{d}{V}_p$$ $$C=2\zeta \sqrt{MK},\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中 $\rho$ 是密度，$c$ 是弹性模量，$\epsilon$ 是介电常数，$e$ 是压电耦合系数。下标 $p$ 和 $s$ 分别表示压电材料和基体。上标 $({)}^S$ 表示参数是在恒应变条件下测量的，上标 $({)}^T$ 表示参数是在恒应力条件下测量的，上标 $({)}^E$ 表示参数是在恒电场条件下测量的。$x,y,z$ 坐标分别用于表示梁的长度、厚度和宽度方向。对于本文研究的案例，激振力沿 $y$ 方向施加，在 $x$ 方向产生应力场，电场沿 $y$ 方向产生，从而形成31模式的梁式能量采集构型。$\varphi (x)$ 是感兴趣振动模态的振型函数，$\psi (y)$ 表示沿厚度方向的电场。

常数 $\zeta$ 是系统的机械（材料）阻尼比。

在基座激励的梁式采集器情况下，有效外力可定义为

$$f_{ext}(t)=Da(t),\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 $a(t)$ 是由于梁连接到振动源而导致的夹持边界条件的加速度，$D$ 是有效输入质量，定义为

$$D={\int }_{V_s}{\rho }_s\varphi (x)\mathrm{d}{V}_s+{\int }_{V_p}{\rho }_p\varphi (x)\mathrm{d}{V}_p.\text{\hspace{1em}(5)}$$

从物理上讲，基座激励被建模并转化为沿梁施加的分布载荷。

2.2. 功率极限分析与最优电负载

令 $Z_{cir}$ 为能量采集电路的阻抗。电压和电荷的关系为

$$V(s)=-Z_{\text{cir}}I(s)=-s{Z}_{\text{cir}}Q(s).\text{\hspace{1em}(6)}$$

结合方程(1)、(2)和(6)可得：

$$\begin{array}{l}\left(\frac{M{C}_p}{\theta }{Z}_{\mathrm{cir}}\right)s^{3}Q(s)+\left(\frac{M}{\theta }+\frac{C{C}_p}{\theta }{Z}_{\mathrm{cir}}\right)s^{2}Q(s)\\ +\left(\frac{C}{\theta }+\frac{K{C}_p}{\theta }{Z}_{\text{cir}}+\theta Z_{\text{cir}}\right)sQ(s)\\ +\left(\frac{K}{\theta }\right)Q(s)=DA(s),\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

由此确定电荷与加速度之间的传递函数为

$$\frac{Q(s)}{A(s)}=\frac{D}{\left(\frac{M{C}_p}{\theta }{Z}_{\text{cir}}\right)s^3+\left(\frac{M}{\theta }+\frac{C{C}_p}{\theta }{Z}_{\text{cir}}\right)s^2+\left(\frac{C}{\theta }+\frac{K{C}_p}{\theta }{Z}_{\text{cir}}+\theta Z_{\text{cir}}\right)s+\left(\frac{K}{\theta }\right)}.\text{\hspace{1em}(8)}$$

定义能量采集电路的广义阻抗或负载，以其电阻 $R$ 和电抗 $X$ 表示：

$$Z_{\mathrm{cir}}=R+jX.\text{\hspace{1em}(9)}$$

将(9)代入(8)，可得在能量采集电路（即通过电阻 $R$）中耗散的功率为

$$P(\omega ,R,X)=\frac{{\theta }^2{D}^2{A}^2{\omega }^{2}R}{B_1^2+B_2^2},\text{\hspace{1em}(10)}$$

其中

$$\begin{array}{l}{B}_1=(K-M{\omega }^2)-[(K-M{\omega }^2)\omega C_p+{\theta }^2\omega ]X\\ -{\omega }^2{C}_{P}CR,\end{array}$$ $$B_2=\omega C-{\omega }^2{C}_{P}CX+[(K-M{\omega }^2)\omega C_p+{\theta }^2\omega ]R.\text{\hspace{1em}(11)}$$

为找出在给定激励频率下获得最大功率的最优电路阻抗，可将功率表达式(10)对阻抗变量 $R$ 和 $X$ 求导：

$$\frac{\partial P}{\partial X}=0,\text{\hspace{1em}(12)}$$ $$\frac{\partial P}{\partial R}=0.\text{\hspace{1em}(13)}$$

关系式(12)导出

$$B_1\frac{\partial B_1}{\partial X}+B_2\frac{\partial B_2}{\partial X}=0.\text{\hspace{1em}(14)}$$

将表达式(11)代入(14)并进行化简，得到

$$X_{\mathrm{opt}}=\frac{1}{\omega C_P}$$ $$\times \frac{(C\omega {)}^2+(K-M{\omega }^2)[(K-M{\omega }^2)+{\theta }^2/C_P]}{(C\omega {)}^2+[(K-M{\omega }^2)+{\theta }^2/C_P{]}^2},\text{\hspace{1em}(15)}$$

有趣的是，该式不依赖于电路阻抗的电阻 $R$。类似地，关系式(13)导出

$$B_1^2+B_2^2=2(B_1\frac{\partial B_1}{\partial R}+B_2\frac{\partial B_2}{\partial R})R,\text{\hspace{1em}(16)}$$

从中可解出最优电阻（的平方）为

$$R_{\text{opt}}^2={\left(\frac{1}{\omega C_P}\right)}^2\times \frac{(C\omega -C{C}_P{\omega }^{2}X{)}^2+\{(K-M{\omega }^2)-[(K-M{\omega }^2)C_P+{\theta }^2\omega ]X{\}}^2}{(C\omega {)}^2+[(K-M{\omega }^2)+{\theta }^2/C_P{]}^2}.\text{\hspace{1em}(17)}$$

要获得总体全局最大功率，两个关系式都必须满足。全局最优电抗与式(15)给出的相同，因为它与电阻无关：

$$X_{\mathrm{opt}}^{\mathrm{global}}=\frac{1}{\omega C_P}$$ $$\times \frac{(C\omega {)}^2+(K-M{\omega }^2)[(K-M{\omega }^2)+{\theta }^2/C_P]}{(C\omega {)}^2+[(K-M{\omega }^2)+{\theta }^2/C_P{]}^2}.\text{\hspace{1em}(18)}$$

而全局最优电阻可通过将全局最优电抗(18)代入(17)得到

$$R_{\text{opt}}^{\text{global}}=\frac{1}{\omega C_P}\frac{(C\omega )({\theta }^2/C_P)}{(C\omega {)}^2+[(K-M{\omega }^2)+{\theta }^2/C_P{]}^2}.\text{\hspace{1em}(19)}$$

将全局最优电阻(19)和电抗(18)代入方程(10)可得

$$P_{\text{opt}}^{\text{global}}=\frac{D^2{A}^2}{4C}=\frac{D^2{A}^2}{\sqrt{MK}}\frac{1}{8\zeta }\text{\hspace{1em}(20)}$$

该式给出了通过调谐或设计能量采集电路（即电路的阻抗）所能获得的最大可能功率输出。因此，它代表了采集器的功率容量，在本文后续部分将称之为功率极限。在本节的功率极限分析中，两个阻抗分量 $R$ 和 $X$ 是自由实值变量，可以为正、负或零。然而，实际电路存在约束。例如，如果电路是纯电阻性的，则电阻 $R$ 非负且电抗 $X$ 为零。因此，要达到功率极限，全局电抗表达式(18)的分子需要为零。这意味着功率极限仅在特定频率（即分子表达式的根）处出现，或者如果没有根存在则根本不出现。这将在下一节中使用阻抗匹配概念进一步讨论。

3. 等效电路与最大功率发电的阻抗匹配

在上一节中，直接使用系统的机电耦合控制方程进行了功率和最优电负载分析。在本节中，将基于系统的等效电路[23–26]（如图2所示），通过阻抗匹配方法确定全局最优电负载。该等效电路是通过机电类比得到的。这种类比提供了一种将机电系统的机械组件转换到电域的方法。因此，系统可以完全在电域中进行分析，那里有大量的理论和可用技术。该等效电路模型的开发过程如下。对于承受基座运动（以加速度 $a(t)$ 表示）的线性SDOF能量采集器，耦合方程(1)和(2)可以重写为

$$\{\begin{array}{l}M\ddot{w}(t)+C\dot{w}(t)+Kw(t)-\theta v_p(t)=Da(t)\\ \theta \dot{w}(t)+C_p{\dot{v}}_p(t)=\dot{q}(t).\end{array}\text{\hspace{1em}(21)}$$

方程(21)中的第一个方程可以重写为

$$\begin{array}{l}\frac{M}{{\theta }^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[-\theta \ddot{w}(t)]+\frac{C}{{\theta }^2}[-\theta \dot{w}(t)]+\frac{K}{{\theta }^2}\int [-\theta \dot{w}(t)]\mathrm{d}t\\ +v_p(t)=-\frac{D}{\theta }a(t).\end{array}\text{\hspace{1em}(22)}$$

定义等效源电压和电流为

$$v_{\mathrm{eq}}(t)=-\frac{D}{\theta }a(t),i_{\mathrm{eq}}=-\theta \dot{w}(t).\text{\hspace{1em}(23)}$$

文本图片说明

L_S R_S C_S i_eq(t) v_eq(t) v_p(t) i_p(t) C_p Z_cir Z_elec=C_p||Z_cir

图1. 承受基座激励的压电能量采集器的等效电路。

文本图片说明

Z_S V_S Z_L

图2. 阻抗匹配示意图。

将等效表达式代回方程(22)可得

$$v_{\mathrm{eq}}(t)=\frac{M}{{\theta }^2}{i}_{\mathrm{eq}}(t)+\frac{D}{{\theta }^2}{i}_{\mathrm{eq}}(t)+\frac{K}{{\theta }^2}\int i_{\mathrm{eq}}(t)\mathrm{d}t+v_p(t),\text{\hspace{1em}(24)}$$

该式形式为由四个元件串联组成的电路网络。方程右侧的每一项代表一个等效电气元件上的电压降。可以看出，前三项分别与电感、电阻和电容相关联。因此，电压关系式(24)重写为

$$v_{\mathrm{eq}}(t)=L_s{\dot{i}}_{\mathrm{eq}}(t)+R_s{i}_{\mathrm{eq}}(t)+\frac{\int i_{\mathrm{eq}}(t)\mathrm{d}t}{C_s}+v_p(t),\text{\hspace{1em}(25)}$$

其中等效电气元件与原始机械元件的关系为

$$L_s=\frac{M}{{\theta }^2},R_s=\frac{C}{{\theta }^2},C_s=\frac{{\theta }^2}{K}.\text{\hspace{1em}(26)}$$

除了电压关系式(25)外，电流关系可通过重写方程(21)的第二个方程得到：

$$i_{\mathrm{eq}}(t)=C_p^{-1}{\dot{v}}_p(t)+i_p(t).\text{\hspace{1em}(27)}$$

结合关系式(25)和(27)得到图1所示的等效电路。

然后，可以应用阻抗匹配技术——一种在电子学分析中常用于最大化从源到负载的能量传输的方法——为能量采集器的功率行为（尤其是功率极限）提供额外的视角。图2展示了一个通用电路的示意图，它由电压源 $v_S$、源阻抗 $Z_S$ 和负载阻抗 $Z_L$ 组成。对于复阻抗 $Z_S$ 和 $Z_L$，当

$$Z_L=Z_S^{\ast },\text{\hspace{1em}(28)}$$

时，传输到负载的功率最大，其中星号表示复共轭。在电阻性负载阻抗的情况下，当负载阻抗等于源阻抗的幅值时功率传输最大，即

$$Z_L=\left|Z_S\right|.\text{\hspace{1em}(29)}$$

正如Liang和Liao[23]所指出的，对于阻抗匹配，源阻抗和负载阻抗应如图2所示串联连接。因此，当对图1中的能量采集系统进行阻抗匹配时，固有电容 $C_p$ 需要与能量采集电路合并，得到的等效电阻抗（图1中阴影部分）为

$$Z_{\mathrm{elec}}=R_{\mathrm{elec}}+j{X}_{\mathrm{elec}}=\frac{1}{j\omega C_p}||Z_{\mathrm{cir}}$$ $$=\frac{R_{\text{cir}}-j(\omega C_p{R}_{\text{cir}}^2+\omega C_p{X}_{\text{cir}}^2-X_{\text{cir}})}{(\omega C_p{R}_{\text{cir}}{)}^2+(\omega C_p{X}_{\text{cir}}-1{)}^2}.\text{\hspace{1em}(30)}$$

等效源阻抗可定义为

$$Z_S=j\omega L_s+R_s+\frac{1}{j\omega C_s}=\frac{C}{{\theta }^2}+j\frac{1}{\omega {\theta }^2}(M{\omega }^2-K).\text{\hspace{1em}(31)}$$

将阻抗匹配关系式(28)应用于方程(31)，得到最优或匹配后的电阻抗（包括 $Z_{\mathrm{cir}}$ 和 $C_p$）

$$(Z_{\mathrm{elec}}{)}_m=(R_{\mathrm{elec}}{)}_m+j(X_{\mathrm{elec}}{)}_m=\frac{C}{{\theta }^2}-j\frac{1}{\omega {\theta }^2}$$ $$\times (M{\omega }^2-K),\text{\hspace{1em}(32)}$$

这是一个”固有的”最优属性，仅取决于能量采集器的参数。换句话说，它与能量采集电路无关。下标”m”表示”匹配后的”。匹配后的电路阻抗 $Z_{\mathrm{cir}}$ 的分量可通过令方程(30)和(32)相等得到，产生以下方程组

$$\frac{(R_{\mathrm{cir}}{)}_m}{(\omega C_p(R_{\mathrm{cir}}{)}_m{)}^2+(\omega C_p(X_{\mathrm{cir}}{)}_m-1{)}^2}=\frac{C}{{\theta }^2},\text{\hspace{1em}(33)}$$ $$\frac{\omega C_p(R_{\mathrm{cir}}{)}_m^2+\omega C_p(X_{\mathrm{cir}}{)}_m^2-(X_{\mathrm{cir}}{)}_m}{(\omega C_p(R_{\mathrm{cir}}{)}_m{)}^2+(\omega C_p(X_{\mathrm{cir}}{)}_m-1{)}^2}$$ $$=\frac{1}{\omega {\theta }^2}(M{\omega }^2-K).\text{\hspace{1em}(34)}$$

为求解这个非线性系统，首先，处理这两个方程以消去二阶项 $R^2$ 和 $X^2$，我们得到

$$\omega C_P(X_{\mathrm{cir}}{)}_m=\left[\frac{C_p}{C}(M{\omega }^2-K)-\frac{{\theta }^2}{C}\right](R_{\mathrm{cir}}{)}_m+1.\text{\hspace{1em}(35)}$$

将方程(35)代入(33)可得

$$(R_{\mathrm{cir}}{)}_m=\frac{1}{\omega C_p}\frac{(C\omega )({\theta }^2/C_p)}{(C\omega {)}^2+[(K-M{\omega }^2)+{\theta }^2/C_p{]}^2}.\text{\hspace{1em}(36)}$$

然后，匹配后的电抗可由方程(35)确定：

$$(X_{\mathrm{cir}}{)}_m=\frac{1}{\omega C_p}$$ $$\times \frac{(C\omega {)}^2+(K-M{\omega }^2)[(K-M{\omega }^2)+{\theta }^2/C_p]}{(C\omega {)}^2+[(K-M{\omega }^2)+{\theta }^2/C_p{]}^2}.\text{\hspace{1em}(37)}$$

注意，通过这种阻抗匹配方法得到的最优电阻和电抗表达式，与第2节中基于耦合系统动力学方程进行直接功率分析得到的表达式（见方程(18)和(19)）相同。为方便处理，最优阻抗分量也可以用无量纲变量表示为：

$$(R_{\mathrm{cir}}{)}_m=\frac{1}{\omega C_p}\frac{2k^2\zeta r}{(2\zeta r{)}^2+[(1-r^2)+k^2{]}^2},\text{\hspace{1em}(38)}$$ $$(X_{\mathrm{cir}}{)}_m=\frac{1}{\omega C_p}\frac{(2\zeta r{)}^2+(1-r^2)[(1-r^2)+k^2]}{(2\zeta r{)}^2+[(1-r^2)+k^2{]}^2},\text{\hspace{1em}(39)}$$

其中无量纲变量频率比、阻尼比和有效机电耦合系数定义为

$$r=\frac{\omega }{{\omega }_n},\zeta =\frac{C}{2\sqrt{KM}},k^2=\frac{{\theta }^2}{C_{p}K}.\text{\hspace{1em}(40)}$$

其中 ${\omega }_n$ 是短路谐振频率。注意，对于压电振动能量采集器，阻抗匹配并不发生在 ${\omega }_n$ 处。由于机电耦合，机械谐振频率随电负载变化，即随着电负载从零增加到无穷大，从短路谐振频率增加到开路反谐振频率。关于此现象的实验研究见[27]。开路反谐振频率通过机电耦合系数 $k^2$ 与短路谐振频率相关：

$$({\omega }_n{)}_{OC}={\omega }_n\sqrt{1+k^2}.\text{\hspace{1em}(41)}$$

在短路或开路时，采集功率为零。因此最大功率是在介于两者之间的某个频率处获得的。因此，一般来说，阻抗匹配或功率极限发生在 ${\omega }_n$ 和 $({\omega }_n{)}_{OC}$ 之间的一个（或多个）频率处，而不是精确地在 ${\omega }_n$ 处。这将在第4和第5节中清晰展示。匹配阻抗表达式(38)和(39)是关于一般激励频率 $\omega$ 和频率比 $r$ 的表达式。换句话说，这些表达式是通用的，它们包含了谐振频率偏移效应。并没有假定最大功率必须发生在短路谐振频率或开路反谐振频率处。

使用公式(23)和(26)中定义的等效电气元件参数，电阻抗 $Z_{\mathrm{elec}}$ 所采集（或耗散）的功率可以确定为

$$P=\frac{D^2{A}^2}{\sqrt{MK}}\frac{k^2{r}^2\gamma }{(2\zeta r+k^{2}r\gamma {)}^2+(1-r^2-k^{2}r\chi {)}^2},\text{\hspace{1em}(42)}$$

其中无量纲电阻和电抗

$$\gamma ={\omega }_n{C}_p{R}_{\text{elec}},\chi ={\omega }_n{C}_p{X}_{\text{elec}}.\text{\hspace{1em}(43)}$$

将方程(38)和(39)中给出的匹配阻抗分量代入功率方程(42)，得到与表达式(20)相同的功率极限：

$$P_m=\frac{D^2{A}^2}{\sqrt{MK}}\frac{1}{8\zeta }.\text{\hspace{1em}(44)}$$

总之，本节使用等效电路分析和阻抗匹配方法表明，PEH存在一个可以通过能量采集电路的最优（或匹配）阻抗达到的功率极限。结果与第2节中基于系统机电动力学方程的直接功率分析所得的结果一致。然而，实际能量采集电路会对系统施加约束，这可能会阻碍达到功率极限。在接下来的章节中，阻抗匹配概念及其结果将分别应用于电阻性能量采集（REH）电路和标准能量采集（SEH）电路，并用于研究和解释它们的一般功率行为。

4. REH采集器的功率与阻抗特性

如前所述，采集器的功率极限是在公式(30)中定义的等效电负载阻抗与公式(31)中定义的等效源阻抗匹配时达到的。因此，能量采集电路的电阻和电抗（即 $Z_{\mathrm{cir}}$）需要等于表达式(38)和(39)中给出的全局最优值。本节将这些结果应用于与电阻性电路（如图3所示）连接的PEH，这类电路已在分流阻尼应用中得到广泛研究。虽然这不是能量采集应用的理想配置，但它引起了极大的兴趣，因为它为理解能量采集器的机制和行为提供了一个起点。例如，由于其简单性，REH系统可以在实施更实用和更先进的电路之前用于验证机电系统模型。REH采集器的一个有趣的功率特性[9, 10, 20]（其他类型的采集器也具有此特性）是，增强采集器的机电耦合最初会带来更多功率，且最大功率输出在系统谐振附近获得。但是，在耦合达到临界值后，进一步增加耦合不会导致最大功率输出的增加，最大功率输出似乎饱和，并分别在谐振和反谐振附近的两个激励频率处出现。

文本图片说明

Ls Rs Cs veq Cp R

图3. 电阻性能量采集器的等效电路。

由于电阻性能量采集电路 $Z_{\mathrm{cir}}$ 的电抗分量为零，根据公式(38)和(39)，要达到功率极限的阻抗匹配要求：

$$R_m^{\mathrm{REH}}=\frac{1}{\omega C_P}\frac{2k^2\zeta r}{(2\zeta r{)}^2+[(1-r^2)+k^2{]}^2},\text{\hspace{1em}(45)}$$ $$0=\frac{1}{\omega C_P}\frac{(2\zeta r{)}^2+(1-r^2)[(1-r^2)+k^2]}{(2\zeta r{)}^2+[(1-r^2)+k^2{]}^2},\text{\hspace{1em}(46)}$$

分别对应电阻和电抗分量。方程(46)导出关于 $r^2$ 的二次方程：

$$r^4-(k^2-4{\zeta }^2+2)r^2+k^2+1=0.\text{\hspace{1em}(47)}$$

求解该方程得到

$$r^2=1+\frac{k^2}{2}-2{\zeta }^2\pm \sqrt{{\left(\frac{k^2}{2}-2{\zeta }^2\right)}^2-4{\zeta }^2}.\text{\hspace{1em}(48)}$$

实数 $r^2$ 存在仅当平方根内的项非负，这导出

$$k^2⩾4\zeta +4{\zeta }^2,\text{\hspace{1em}(49)}$$

原文第431–856行 | 翻译：第4节（续）至第6节（结论）、作者信息及参考文献

---

$$k^2⩾4\zeta +4{\zeta }^2,\text{\hspace{1em}(49)}$$

并相关的正实频率比为

$$r_{1,2}=\sqrt{1+\frac{k^2}{2}-2{\zeta }^2\pm \sqrt{{\left(\frac{k^2}{2}-2{\zeta }^2\right)}^2-4{\zeta }^2}}.\text{\hspace{1em}(50)}$$

根据公式（49），REH能量采集器的功率行为可根据有效机电耦合系数与机械阻尼之间的关系分为三类：

$$\{\begin{array}{ll}{k}^2<4\zeta +4{\zeta }^2,& \text{弱耦合}\\ (k^2{)}_c=4\zeta +4{\zeta }^2,& \text{临界耦合}\\ k^2>4\zeta +4{\zeta }^2,& \text{强耦合。}\end{array}\text{\hspace{1em}(51)}$$

对于强耦合的能量采集器，全局最优阻抗在两个特定的激励频率比 $r_1$ 和 $r_2$ 处实现匹配，功率极限在这两个频率上达到。在临界耦合情况下，最优阻抗仍然在两个相同的频率比处实现匹配，即 $r_1=r_2$。然而，如果机电耦合较弱，则不存在实数值且非负的 r 根，因此无法通过电阻电路的调谐达到功率极限。

为了以图形方式说明这一行为，使用表1中给出的材料和几何参数对一个双压电晶片功率采集器进行了仿真。基底铜层位于两个并联电连接的压电层之间。首先确定方程（3）和（5）中的有效系统参数，然后计算功率输出。该采集器在第一短路固有频率附近工作，机械（材料）阻尼 $\zeta =0.02$。压电材料的机电性能以系统的总体有效耦合系数的形式给出，以便进行比较。

连接到电阻电路的采集器的功率输出可通过方程（10）确定，注意到这种情况下能量采集电抗 $X=0$：

$$P=\frac{D^2{A}^2{\omega }^{2}R}{{\left[\left(\frac{K}{\theta }-\frac{M}{\theta }{\omega }^2\right)-\left(\frac{C{C}_p}{\theta }{\omega }^2\right)R\right]}^2+{\left[\left(\frac{C}{\theta }\omega \right)+\left(\frac{K{C}_p}{\theta }\omega +\theta \omega -\frac{M{C}_p}{\theta }{\omega }^3\right)R\right]}^2}.\text{\hspace{1em}(52)}$$

在给定激励频率下使功率最大化的最优电阻可以通过对该功率表达式求导得到：

$$R_{\text{opt}}=\frac{1}{\omega C_p}\sqrt{\frac{(C\omega {)}^2+(K-M{\omega }^2{)}^2}{(C\omega {)}^2+(K+{\theta }^2/C_p-M{\omega }^2{)}^2}}.\text{\hspace{1em}(53)}$$

请注意，该最优电阻 $R_{\mathrm{opt}}$ 不同于方程（19）中的全局最优电阻或方程（36）中的匹配电阻，因为前者是在电阻能量采集电路电抗为零的约束条件下获得的，而后者则是在电抗自由的情况下获得的。

图4显示了在最优电阻 $R_{\mathrm{opt}}$ 下，对于由表达式（51）定义的三种不同机电耦合的采集器——即强耦合 $k^2=0.20$、临界耦合 $k^2=0.0816$ 和弱耦合 $k^2=0.02$——采集功率随激励频率比 $r=\omega /{\omega }_n$ 的变化关系。在弱耦合情况下，最优功率曲线在系统共振附近有一个峰值，但峰值低于功率极限。在临界耦合情况下，最优功率曲线也是单峰形状，但在共振附近的频率处达到了功率极限。强耦合功率曲线有两个功率极限峰值，一个在系统共振附近，另一个在系统反共振附近。

这些功率曲线的行为可以通过第3节介绍和讨论的阻抗匹配概念来解释。图5绘制了三种不同机电耦合采集器在不同频率下的匹配（或全局最优）电路阻抗。随着频率的增加，匹配阻抗沿 $(Z_{cir}{)}_m$ 曲线逆时针方向移动。请注意，由于能量采集电路是纯电阻性的，电路的调谐对应于阻抗沿水平电阻轴（电抗为零）的移动。在弱耦合情况下，匹配阻抗由覆盖左侧水平轴上方一个小椭圆区域的黑色虚线曲线表示。匹配阻抗曲线与水平轴之间没有交点。因此，通过调谐无法达到功率极限，图4中虚线功率曲线上的峰值低于极限值。在图5中由蓝色点划线曲线表示的强耦合情况下，匹配阻抗曲线与水平电阻轴之间存在两个交点。因此，功率极限在这两个位置达到，例如 $r_1=1.0042$ 和 $r_2=1.0909$，如方程（50）对于 $k^2=0.20$ 所给出的，这导致了图4中点划线功率曲线上两个位于功率极限的峰值。此外，方程（45）给出的匹配电阻为 2.792 和 53.35 kΩ，与图5所示一致。最后，临界耦合情况下的匹配阻抗由图5中的红色实线表示。可以看出水平电阻轴在该曲线的底部与之相切。换句话说，两条曲线之间仅存在一个交点，功率极限在这个特定频率处达到。

表1. 仿真系统的几何和材料参数

参数	符号	数值
长度	$L$	76.2 mm
宽度	$b$	12.7 mm
铜层厚度	$t_s$	0.254 mm
PZT厚度	$t_p$	0.254 mm
铜密度	${\rho }_s$	8960 kg m${}^{-3}$
PZT密度	${\rho }_p$	7800 kg m${}^{-3}$
铜弹性模量	$c_s$	117 GPa
PZT弹性模量	$c_p$	62 GPa

line

频率比 r	功率 (mW) k² = 0.02	功率 (mW) k² = 0.0816	功率 (mW) k² = 0.20
0.8	~0	~0	~0
0.9	~0.5	~1	~1.5
1.0	~4	~6	~6
1.1	~0	~2	~5
1.2	~0	~0.5	~1
1.3	~0	~0	~0

图4. 最优电阻 $R_{\mathrm{opt}}$ 下的功率与频率比的关系。强耦合 $k^2=0.20$；临界耦合 $k^2=0.0816$；弱耦合 $k^2=0.02$。功率极限由方程（20）给出。机械阻尼比 $\zeta =0.02$。基础激励加速度为 $9.81{\mathrm{ms}}^{-2}$。

图5. 匹配（最优）电路阻抗 $(Z_{\mathrm{cir}}{)}_m$ 和 REH 电路调谐阻抗 $(Z_{\mathrm{cir}}{)}_{\mathrm{REH}}$。强耦合 $k^2=0.20$；临界耦合 $k^2=0.0816$；弱耦合 $k^2=0.02$。机械阻尼比 $\zeta =0.02$。

有必要指出最大采集功率（即功率极限）与最大能量转换效率之间的关系，这两个是能量采集器的重要参数。Liao 和 Sodano 在 [28] 中研究了一般关系，近期 Kim 等人在 [29] 中进行了更详细的解析分析。总体而言，对于弱耦合系统，随着机电耦合的增加，采集功率和效率同时增加。当耦合超过其临界值时，最大功率（即功率极限）和最大能量效率不会同时获得。从物理上讲，更高的能量效率对应于结构上更高的感应电气阻尼，导致用于能量采集的机械能减少。换句话说，最大化效率就是最大化系统的阻尼。对于强耦合系统，由阻尼引起的机械能减少比能量转换效率的增加更为显著。因此，在最大能量效率下的总采集功率实际上变得更小。

5. SEH 能量采集器的功率和阻抗特性

由于大多数实际能量采集应用涉及直流供电设备，和/或给电池或电容器充电，标准能量采集电路是一种更有用的配置，它将交流功率转换为稳定的直流输出。图6显示了标准能量采集器的原理图，它由整流桥和平滑电容 $C_{\mathrm{rect}}$ 组成。Ottman 等人 [15] 和 Guyomar 等人 [16] 提出了 SEH 电路接口的早期模型和分析。随后 Shu 和 Lien [17] 开发了更精确的模型。然而，由于电路的非线性特性，系统参数与性能之间的关系并不容易直接显现。为了简化分析并统一不同的电路接口，Liang 和 Liao [23] 通过使用基波近似电路中的非线性电压和电流，推导出了标准能量采集器的等效阻抗。

图1中阴影区域（结合了能量采集电路和压电片固有电容）的等效电阻抗为

$$\begin{array}{l}{Z}_{\mathrm{elec}}^{\mathrm{SEH}}=R_{\mathrm{elec}}+j{X}_{\mathrm{elec}}\\ =\frac{1}{\pi \omega C_p}[{\sin }^2\beta +j(\sin \beta \cos \beta -\beta )],\end{array}\text{\hspace{1em}(54)}$$

其中

$$\cos \beta =1-2{\tilde{V}}_{\text{rect}}=1-2\frac{V_{\text{rect}}}{V_{\text{oc}}},\text{\hspace{1em}(55)}$$

$V_{\mathrm{rect}}$ 和 $V_{oc}$ 分别是整流电压和开路电压。$\beta$ 是半个周期内的整流器阻断角，它随负载电阻 $R_{\mathrm{load}}$ 的变化在 0 到 π 之间变化，即调谐。该等效阻抗建模的详细信息可参见 Liang 和 Liao [23]。采集功率可由方程（42）和（54）确定，注意到在这种情况下，方程（42）中的无量纲电阻和电抗与整流器阻断角 $\beta$ 的关系为：

$$\gamma =\frac{1}{\pi r}{\sin }^2\beta ,\chi =\frac{1}{\pi r}(\sin \beta \cos \beta -\beta ).\text{\hspace{1em}(56)}$$

text_image

Ls Rs Cs veq Cp R Crect

图6. 标准能量采集器的等效电路。

图7绘制了有效耦合系数为 $k^2=0.05$ 的采集器的采集功率随激励频率比 r 和阻断角 $\beta$ 的变化关系。请注意，改变 $\beta$ 的值相当于调谐能量采集电路。可以看出存在一个整体功率峰值，但它低于由方程（20）或（44）确定的 5.96 mW 的功率极限。另一方面，图8绘制了有效耦合系数为 $k^2=0.4$ 的采集器的采集功率。有两个峰值达到了功率极限，分别位于频率比 1.0085（靠近共振 $r_{sc}=1$）和 1.1741（靠近反共振 $r_{oc}=1.1832$）处。可以证明，进一步增加耦合系数不会产生额外的峰值。峰值数量保持为两个，且峰值功率被限制为等于功率极限。峰值的位置确实会发生变化，并且随着耦合系数的增加，它们之间的距离变长。

为了研究功率极限峰值与电路阻抗之间的关系，图9绘制了三种不同有效耦合系数采集器的电路阻抗与匹配（或最优）阻抗之间的差值，定义为

$$\begin{array}{l}\Delta Z=\left|Z_{\text{elec}}-(Z_{\text{elec}}{)}_m\right|\\ =\sqrt{(R_{elec}-(R_{\mathrm{elec}}{)}_m{)}^2+(X_{\mathrm{elec}}-(R_{\mathrm{elec}}{)}_m{)}^2},\end{array}$$

其中 $R_{\mathrm{elec}}$ 和 $X_{\mathrm{elec}}$ 是 SEH 采集器的等效电阻抗（定义于方程（54）），而 $(R_{\mathrm{elec}}{)}_m$ 和 $(X_{\mathrm{elec}}{)}_m$ 是达到功率极限的匹配电阻抗（定义于方程（32））。请注意，等效电阻抗同时取决于频率 ω 和整流器阻断角 $\beta$；而匹配最优电阻抗仅取决于频率 ω。为了获得图9，在每个频率比 $r=\omega /{\omega }_n$ 处，阻断角 $\beta$ 以非常小的步长从 0 变化到 π。然后对于每个 $\beta$ 值计算阻抗差 ΔZ。因此，在每个 r 处图形上都有多个数据点，由于大量点绘制在一起，形成了一个”阴影”区域。从图9(a)中可以看出，在弱耦合 $k^2=0.05$ 的情况下，无论频率比和阻断角如何，差值始终大于零。换句话说，电阻抗无法调谐到匹配电阻抗。因此，尽管如图7所示存在一个功率峰值，但并未达到功率极限。当有效耦合系数增加到 $k^2=0.12962$（即临界耦合）时，阻抗差在单个频率比 $r=1.0311$ 处变为零，此时电阻抗等于匹配阻抗，从而在功率上产生一个功率极限峰值。随着耦合进一步增加，电阻抗能够在两个位置匹配最优阻抗，例如图9(c)中 $k^2=0.4$ 的情况。这导致了如图8所示的两个功率极限峰值。这些功率行为与第2节和第3节的分析结果一致，即功率极限代表……[截断]

area_stacked

r	β	功率 (mV)
1.2	0	0
1.1	0.9	1
1	1	2
0.9	1.5	3
0	2	4
1	2.5	5
2	3	0

heatmap

β	r	值
0.5	1.0	2
1.0	1.0	4
1.5	1.0	6
2.0	1.0	4
2.5	1.0	2
3.0	1.0	0

图7. SEH 采集器的采集功率与频率比 r 和阻断角 β 的关系。小机电耦合系数 $k^2=0.05$。机械阻尼比 $\zeta =0.02$。功率极限 $P_{\mathrm{limit}}=5.96$ mW。

面积堆叠

r	β	Power (mV)
1.2	0	0
1.1	0.9	2
1	1	4
0.9	1.1	5
0	1.2	6
0	1.3	5
0	1.4	4
0	1.5	3
0	1.6	2
0	1.7	1
0	1.8	0
0	1.9	0
0	2	0
0	2.1	0
0	2.2	0
0	2.3	0
0	2.4	0
0	2.5	0
0	2.6	0
0	2.7	0
0	2.8	0
0	2.9	0
0	3	0

热力图

β	γ	Value
0.0	0.9	0
0.5	1.0	2
1.0	1.1	4
1.5	1.2	6
2.0	1.3	6
2.5	1.2	4
3.0	1.1	2

图10提供了调谐过程中电阻抗移动及其与匹配最优电阻抗关系的图形视图。请注意，由方程（32）给出的匹配最优电阻抗 $(Z_{\mathrm{elec}}{)}_m$ 取决于频率比 r。随着 r 增加，最优阻抗沿 $(Z_{\mathrm{elec}}{)}_m$ 曲线向下移动。SEH 电路的等效阻抗 $(Z_{\mathrm{elec}}{)}_{\mathrm{SEH}}$（由方程（54）给出）同时取决于 r 和 β。为了显示对这两个参数的依赖关系，每条 $(Z_{\mathrm{elec}}{)}_{\mathrm{SEH}}$ 曲线是针对特定频率比绘制的，然后随着 $\beta$ 从 0 变化到 $\pi$，相应的电阻抗点沿 $(Z_{\mathrm{elec}}{)}_{\mathrm{SEH}}$ 曲线顺时针方向移动。在弱耦合情况下，即图10(a)，电阻抗曲线无法与匹配阻抗曲线相交。需要指出的是，即使 $(Z_{\mathrm{elec}}{)}_{\mathrm{SEH}}$ 和 $(Z_{\mathrm{elec}}{)}_m$ 曲线能够相互交叉，交叉点也需要处于相同的频率比才能使阻抗真正匹配。这在图10(c)的强耦合情况下有所展示。在这种情况下，可以看出 $(Z_{\mathrm{elec}}{)}_{\mathrm{SEH}}$ 曲线能够在两个位置与 $(Z_{\mathrm{elec}}{)}_m$ 曲线相交，且两条曲线的频率比相等。换句话说，阻抗在两个频率处匹配，从而产生两个功率极限峰值。在临界耦合情况下，如图10(b)所示，$(Z_{\mathrm{elec}}{)}_{\mathrm{SEH}}$ 曲线能够在单个位置与 $(Z_{\mathrm{elec}}{)}_m$ 曲线”相交匹配”……[截断]

不同耦合的 SEH 采集器的行为在图7和图8中得到了展示。通过仿真确定过渡或临界耦合为 $k^2=0.12962$。为了帮助分析和设计 SEH 采集器，最好能获得类似于方程（51）的闭式判据，其中将耦合效率与系统的机械阻尼进行比较，以确定耦合类型（即弱耦合、临界耦合和强耦合），并获得最大功率输出（即功率极限）。然而，在这种情况下无法进行解析推导。通过数值研究得到了临界耦合与阻尼比之间的关系，如图11所示。根据仿真结果，得到了一个类似于方程（51）的拟合表达式：

$$(k^2{)}_c=6.277\zeta +10.07{\zeta }^2.\text{\hspace{1em}(58)}$$

对于低阻尼，这意味着临界耦合效率约为机械阻尼的 6.28 倍。使用 Shu 和 Lien [17] 开发的 SEH 模型进行了单独分析，确定的关系为 $(k^2{)}_c=6.260\zeta +10.432{\zeta }^2$，这与表达式（58）相当接近。

有趣的是，表达式（58）中的数值 6.277 非常接近 2π。关于临界耦合系数与机械阻尼之间关系的解析研究可以通过首先将方程（32）给出的匹配最优电阻抗 $(Z_{\mathrm{elec}}{)}_m$ 重写为：

$$\begin{array}{l}(Z_{\mathrm{elec}}{)}_m=(R_{\mathrm{elec}}{)}_m+j(X_{\mathrm{elec}}{)}_m\\ =\frac{1}{\omega C_p}\left[\frac{2\zeta r}{k^2}+j\frac{\left(1-r^2\right)}{k^2}\right].\end{array}\text{\hspace{1em}(59)}$$

为了达到功率极限，SEH 电阻抗（54）需要等于匹配电阻抗（59）。这导致：

$$\frac{2\zeta r}{(k^2{)}_c}=\frac{1}{\pi }{\sin }^2\beta ,\text{\hspace{1em}(60)}$$ $$\frac{(1-r^2)}{(k^2{)}_c}=\frac{1}{\pi }(\sin \beta \cos \beta -\beta ).\text{\hspace{1em}(61)}$$

可以证明，对于 $\beta$ 在 0 到 π 之间，方程（61）的右侧总是小于或等于零。注意，当它等于零时，β 必须等于零且 r 必须等于 1，然后方程（60）不能满足。因此方程（61）的右侧需要为负才能产生可行解。因此，功率极限频率比应大于 1。此外，方程（60）可以重写为：

$$(k^2{)}_c=\frac{2\pi \zeta r}{{\sin }^2\beta }.\text{\hspace{1em}(62)}$$

由于功率极限频率比大于 1 且正弦函数的幅度总是小于或等于 1，为了达到功率极限或使（60）和（61）同时满足，临界耦合系数满足：

$$(k^2{)}_c>2\pi \zeta .\text{\hspace{1em}(63)}$$

line

频率比 r	阻抗差 ΔZ (kΩ)
0.9	50
1.0	7
1.1	50
1.2	45
1.3	40

area

频率比 r	阻抗差 ΔZ (kΩ)
0.9	37
1.0	0
1.1	25
1.2	40
1.3	50

area

频率比 r	阻抗差 ΔZ (kΩ)
0.9	22
1.0	0
1.1	6
1.2	0
1.3	18

图9. SEH 采集器通过调谐的电阻抗与匹配电阻抗之差。(a) 弱耦合 $k^2=0.05$；(b) 临界耦合 $k^2=0.12962$；(c) 强耦合 $k^2=0.4$。机械阻尼比 $\zeta =0.02$。

注意这意味着临界耦合系数需要大于 $2\pi \zeta$。这仍然没有提供临界耦合系数与机械阻尼比之间的闭式关系。然而，基于（58）给出的结果，2π 这个比值似乎是 SEH 采集器的一个合理参考。

最后，图12从电阻抗 $Z_{\mathrm{elec}}$ 的角度比较了 REH 和 SEH 采集器的行为及其耦合特性。请注意，电阻抗 $Z_{\mathrm{elec}}$ 被定义为能量采集电路阻抗 $Z_{cir}$ 与压电电容 $C_p$ 的并联组合，如方程（30）所示。对于 REH 电路，电阻抗为：

$$Z_{\text{elec}}^{\text{REH}}=\frac{1}{\omega C_P}\left(\frac{\rho }{1+{\rho }^2}-j\frac{{\rho }^2}{1+{\rho }^2}\right),\text{\hspace{1em}(64)}$$

其中

$$\rho =\omega C_P{R}_{\text{cir}}.\text{\hspace{1em}(65)}$$

从方程（64）可以看出，REH 采集器的电阻抗同时取决于 $\omega$ 和 $\rho$。如前所述并在方程（54）中给出，SEH 采集器的电阻抗同时取决于 ω 和 $\beta$。为了进行比较并更好地说明这些关系，将匹配阻抗、SEH 和 REH 电阻抗乘以 $\omega C_p$，得到以下无量纲阻抗：

$$\omega C_p(Z_{\mathrm{elec}}{)}_m=\frac{2\zeta r}{k^2}+j\frac{(1-r^2)}{k^2},\text{\hspace{1em}(66)}$$ $$\omega C_p(Z_{\mathrm{elec}}{)}_{\mathrm{SEH}}=\frac{1}{\pi }[{\sin }^2\beta +j(\sin \beta \cos \beta -\beta )],\text{\hspace{1em}(67)}$$ $$\omega C_P(Z_{\mathrm{elec}}{)}_{\mathrm{REH}}=\frac{\rho }{1+{\rho }^2}-j\frac{{\rho }^2}{1+{\rho }^2},\text{\hspace{1em}(68)}$$

在给定系统耦合系数和阻尼比的情况下，每个都只取决于一个单一变量。图12说明了阻抗如何变化和比较。在特定的耦合系数下，随着频率比增加，无量纲匹配电阻抗 $\omega C_p(Z_{\mathrm{elec}}{)}_m$ 沿曲线顺时针方向移动。对于无量纲 SEH 电阻抗 $\omega C_p(Z_{\mathrm{elec}}{)}_{\mathrm{SEH}}$，随着阻断角 $\beta$ 增加（或调谐），SEH 电阻抗也沿曲线顺时针方向移动。对于无量纲 REH 电阻抗 $\omega C_p(Z_{\mathrm{elec}}{)}_{\mathrm{REH}}$，随着 $\rho$ 增加（或调谐），REH 电阻抗也沿曲线顺时针方向移动。为了达到功率极限，SEH 或 REH 曲线需要与匹配阻抗曲线相交。

scatter

电阻 R_elec (kΩ)	电抗 X_elec (kΩ)	系列
10	0	(Z_elec)_m at r = 1
10	-25	(Z_elec)_m at r = 1.05
10	-50	(Z_elec)_m at r = 1.1

line

电阻 R_elec (kΩ)	电抗 X_elec (kΩ)
4	0

line

电阻 R_elec (kΩ)	电抗 X_elec (kΩ) - (Z_elec)_m at r=1.0085	电抗 X_elec (kΩ) - (Z_elec)_m at r=1.1741
1.0	0	-10

图10. SEH 采集器的电路阻抗和匹配阻抗。(a) 弱耦合 $k^2=0.05$；(b) 临界耦合 $k^2=0.12962$；(c) 强耦合 $k^2=0.4$。机械阻尼比 $\zeta =0.02$。

对于任何一种类型的采集器，如果耦合系数较小，例如 $k^2=0.05$，最优匹配阻抗曲线远离接口（即 REH 或 SEH）的电阻抗调谐曲线。通过调谐仅存在一个功率峰值，如图7所示。由于最优匹配阻抗曲线不与 REH 或 SEH 电阻抗调谐曲线相交，该峰值功率低于功率极限。当耦合系数增加到 $k^2=0.0816$ 时，匹配阻抗曲线在单个位置与 REH 调谐曲线相切，从而为 REH 采集器形成临界耦合配置。然而，对于 SEH 采集器来说，这种耦合仍然太低。随着耦合进一步增加并达到 $k^2=0.12962$，匹配阻抗曲线能够与 SEH 调谐电阻抗曲线接触，从而为 SEH 采集器形成临界耦合配置。此后，耦合对于 REH 和 SEH 采集器都足够强，例如 $k^2=0.4$，电阻抗曲线与最优匹配阻抗曲线之间有两个交点，从而产生两个功率极限峰值。值得指出的是，两个 SEH 交点总是落在两个 REH 交点之间，因为 SEH 阻抗曲线被 REH 阻抗曲线包围在内。因此，SEH 采集器的两个功率极限频率之间的”带宽”比 REH 采集器窄。总之，虽然 SEH 采集器对于能量采集应用更实用，但达到功率极限需要更强的耦合，并且在相同强机电耦合条件下，大功率输出的频率带宽不如 REH 采集器宽。

line

阻尼比 ζ	临界耦合系数 (k²)_c
0.00	0.00
0.01	0.05
0.02	0.10
0.03	0.15
0.04	0.20
0.05	0.25
0.06	0.30
0.07	0.35
0.08	0.40
0.09	0.45
0.10	0.50

图11. SEH 采集器的临界耦合系数 $(k^2{)}_c$ 与机械阻尼比 ζ 的关系。

line

无量纲电阻 ωC_p R_elec	(ωC_p Z_elec)_m (k²=0.05)	(ωC_p Z_elec)_m (k²=0.0816)	(ωC_p Z_elec)_m (k²=0.12962)	(ωC_p Z_elec)_m (k²=0.40)	(ωC_p Z_elec)_SEH	(ωC_p Z_elec)_REH
0	20	12	8	3	0	0
0.5	12	8	4	0	0	0
1.0	0	-10	-10	-10	-10	-10
1.5	-10	-10	-10	-10	-10	-10

图12. REH 和 SEH 采集器的无量纲电阻抗以及最优匹配电阻抗。

最后，如前所述，SSHI 能量采集接口作为一种改善弱耦合系统功率性能的有效技术受到了广泛关注。它由 Guyomar 等人 [16] 基于用于通过压电阻尼减少结构振动的同步开关阻尼（SSD）技术 [30] 首次提出。SSD 技术使用一个小电感器，当结构位移达到最大值和最小值时反转压电元件上的电压。结果是电压与结构运动相位相差 90 度，从而增强了阻尼。Guyomar 等人 [16] 开发了一个能量采集模型，假设激励与采集器的结构速度响应完全同相。Shu 等人 [18] 提出了一种改进的分析，考虑了激励与速度响应之间的实际相位差。

与 SEH 接口类似，Liang 和 Liao [23] 能够确定 SSHI 接口的等效阻抗，并通过实验验证了其在功率分析中的准确性。由于功率极限存在于所有可以表示为广义阻抗的接口中，功率极限概念也适用于 SSHI 接口。这通过使用 Shu 等人 [18] 模型的数值研究进一步得到确认，该模型产生了相同的饱和功率 5.96 mW，即功率极限。除了 SSHI，近年来还提出了许多其他开关技术。关于开关技术的详细讨论和比较是未来工作的一部分，旨在为不同类型的能量采集器提供通用和统一的分析。

6. 结论

PEH 的功率极限以及达到该极限的最优电路阻抗通过两种不同的分析方法获得：（1）基于机电耦合系统方程的直接功率分析；（2）基于等效电路模型的阻抗匹配分析。尽管方法不同，但它们得出了相同的结果。功率极限代表了可以从 PEH 采集的最大可能功率。为了达到这个功率极限，采集器的有效机电耦合系数需要等于或大于临界值，使得能量采集电路的阻抗能够调谐到采集器的最优阻抗。

然而，实际的能量采集电路具有约束条件，阻止它们自由地获得功率极限。对电阻式（REH）和 SEH 采集器进行了阻抗分析，并用于解释它们的单峰和双峰功率行为及其对功率极限的限制。

总的来说，弱耦合 REH 或 SEH 采集器的能量采集电路阻抗无法调谐到最优阻抗。通过调谐它有一个整体功率峰值，但该峰值低于功率极限。临界耦合采集器只能在特定频率处达到功率极限。强耦合采集器可以在两个特定频率处实现这一点，从而产生两个功率极限峰值。

研究发现，对于 REH 采集器，临界耦合系数约为机械阻尼比的四倍；对于 SEH 采集器，约为 2π 倍。此外，在相同的强机电耦合水平下，SEH 采集器的两个功率极限频率之间的频率带宽比 REH 采集器窄。

ORCID iDs

Yabin Liao https://orcid.org/0000-0003-4054-5219

Junrui Liang https://orcid.org/0000-0003-2685-5587

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