Shu2006-power_中文翻译

压电能量采集系统功率输出分析

Y C Shu¹ 和 I C Lien

台湾大学应用力学研究所，台北106，中华民国

邮箱: yichung@spring.iam.ntu.edu.tw

收稿日期：2006年4月1日，终稿日期：2006年8月11日

出版日期：2006年9月25日

在线地址：stacks.iop.org/SMS/15/1499

摘要

能量采集是指从环境中获取本将被浪费的能量并将其转换为可用电能的做法。已有大量工作研究了最优交流功率输出，但很少有工作考虑交直流输出。本文研究了整流压电器件的最优交直流发电问题。与近期文献中基于各种近似程度的估计方法不同，本文在稳态运行条件下推导了交直流功率输出的解析表达式。结果表明，采集到的功率取决于输入振动特性（频率和加速度）、发电机的质量、电阻负载、固有频率、机械阻尼比以及系统的机电耦合系数。本文提供了一种有效的功率归一化方案，用于比较器件的相对性能和效率。理论预测得到验证，并与实验观测和数值模拟结果吻合良好。最后，针对大耦合系数和高品质因数的器件提出了若干设计指南。

1. 引言

过去几年中，无线传感器和通信节点网络的发展在研究界引起了极大关注。这些节点网络的应用设想包括建筑结构健康监测和环境控制系统、智能家居以及野生动物追踪设备[23, 32]。然而，随着网络数量的增加和器件尺寸的减小，这些自主微传感器的普及引发了有效供电的问题。传统解决方案是使用电化学电池供电。然而，电池不仅会增加微传感器的尺寸和重量，还存在使用寿命短、需要频繁更换等局限，这在许多实际应用中是不可接受甚至是不可能的。

另一方面，低功耗电子设计与制造的同时进步降低了对单个节点的功率需求。据预测，根据应用不同，功耗可降至数十至数百微瓦[3]。这为自供能传感器节点提供了可能，而对远程系统或嵌入式设备独立供电的需求也激发了许多从各种环境能源中采集电能的研究努力。这些能源包括太阳能、热梯度和振动[37]。在这些能量采集中，机械振动是一种潜在且丰富的可用能源，可通过微机电系统（MEMS）技术方便地转换为电能，并且从小型家用电器到大型基础设施等各种应用中普遍存在[36, 41]。

振动能量可通过压电、电磁和电容式换能器转换为电能。其中，压电振动-电转换器因其高机电耦合性、无需外部电压源等优点而受到广泛关注，特别适用于MEMS[13, 30, 39]。因此，近年来利用压电材料从环境振动源中采集能量的应用急剧增长。例如，MIT Media Lab的早期工作研究了从各种人类活动中寄生性地获取能量的可行性[45]。随后证实，利用压电陶瓷可以收集行走产生的能量[40]。此后，针对特定用途，提出了各种结构形式的压电能量采集元件。Elvin等人[6, 7]以及Ng和Liao[27]同时将压电元件用作发电机和传感器。他们评估了压电传感器为无线传输供电的性能，并验证了自供能传感器系统的可行性。Roundy和Wright[38]分析并开发了一种基于双层弯曲元件的压电发电机，并将其作为发电机设计优化的基础。其他基于悬臂梁结构使用压电材料采集振动能量的类似工作包括[4, 25, 26, 51, 53]。

除了一维设计外，Kim等人[16, 17]和Ericka等人[8]建模并设计了压电板（薄膜）以从脉动压力源中采集能量。其他采集方案包括在海洋或河流水流中使用长条压电聚合物（能量采集鳗鱼）[1, 46]，使用工作在{3-3}模式的压电”钹”式换能器[14, 15]，以及使用压电风车从风能发电[31]。Jeon等人[13]成功开发了第一个PZT MEMS发电器件。关于MEMS级压电能量采集器的建模和设计考虑的相关工作可见[5, 24, 33]。

大多数已发表的结果报告了输出电压或功率的测量值，但很少有工作量化其器件的效率。Umeda等人[48, 49]以及Goldfarb和Jones[9]分别研究了工作在{3-1}和{3-3}模式的压电元件的发电效率。最近，Richards等人[34]提供了一个预测功率转换效率的解析公式，并表明它取决于器件的机电耦合系数和品质因数。Roundy[35]进一步提出了振动能量采集有效性的通用理论，可应用于电磁、压电、磁致伸缩和静电换能器技术。此外，当能量采集器应用于一个系统时，会产生额外的阻尼效应。Lesieutre等人[22]指出，添加到振动结构上的阻尼是由于电能从系统中被提取所致。他们表明，能量采集系统的工作方式类似于分流阻尼系统，区别在于能量是被储存而非耗散[20, 44]。

上述研究工作主要集中在开发最优能量采集结构上。然而，这些器件的电气输出在许多情况下太小，无法直接为电气设备供电。因此，积累和存储寄生能量的方法也是开发自供能系统的关键。Sodano等人[42, 43]研究了若干种压电能量采集器件以及利用电容器或可充电电池积累能量的方法。Ottman等人[28, 29]开发了高效的电路来存储产生的电荷或将其提供给负载电路。他们声称，在高激励水平下，功率输出可提高多达400%。与[28, 29]的线性负载阻抗适配不同，Guyomar等人[10]和Lefeuvre等人[18, 19]开发了一种新的功率流优化原理，该原理基于提取压电元件产生的电荷，并与稳态运行的机械振动同步。他们声称，采集的电功率可比标准技术提高多达900%。Badel等人[2]将他们的工作扩展到脉冲激励的情况。

本文中，我们提出了一种针对整流压电采集器的交直流功率输出分析。许多研究振荡质量到电能转换的已发表成果采用了Williams和Yates提出的简单模型[5, 13, 36, 39, 52]。该模型基于电阻尼项是线性的且与速度成正比的假设；然而，这一假设在许多情况下可能并不严格成立。此外，已有大量工作研究了最优交流功率流，但很少有工作考虑交直流功率输出。前者包括[5, 24, 25, 30, 34, 38, 44]，而后者最近在[10, 19, 28]中得到了研究。由于电子负载需要稳定的直流电压，而振动的压电元件产生的是交流电压，因此所需的输出需要经过整流、滤波和调节以确保电气兼容性。因此，研究最优交直流功率输出以反映许多实际应用中的真实电气性能具有重要意义。

具体而言，我们研究了连接了交直流整流器以及后续滤波电容和电阻的压电发电机的稳态响应。这个问题最近由Ottman等人[28]和Guyomar等人[10]研究过。前者假设振动幅度不受负载电阻影响，而后者假设周期性外部激励和质量速度同相位。与基于这两种方法的估计不同，我们考虑了机电系统的全局行为，并在第2节中推导了一个全新的交直流功率输出解析表达式。我们证明了采集的功率显式地依赖于若干无量纲参数。在此基础上，提供了一个有效的功率归一化方案，可用于比较不同尺寸和不同振动输入的功率采集器件以评估效率。在第3节中，我们推导了最优负载和功率的判据，并分别研究了器件在短路和开路谐振下功率输出的渐近行为。我们表明，选择正确的工作频率对于实现最大功率流至关重要，而这一效应在许多其他方法中被忽略了。接下来，我们在第4节中通过实验结果和数值模拟验证了我们的理论预测，发现吻合良好。此外，我们发现当系统的耦合系数和品质因数较大时，这些方法之间的差异会变得显著。最后，根据我们的预测提出了若干设计指南。我们在第5节中进行了总结和讨论。

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F(t) M K η Θ Cp u(t) Piezoelectric Element Cₑ Regulator Energy Storage System

图1. 压电振动能量采集系统的等效模型。

2. 采集模型

2.1. 控制方程

压电能量采集器通常被建模为一个质量+弹簧+阻尼+压电结构与能量存储系统的组合，如图1示意所示[19, 28, 34]。它由一个耦合到机械结构的压电元件组成，并连接到存储电路系统。在该方法中，一个有效质量M受外加激励力$F(t)$作用，约束在一个有效刚度为K的弹簧上、一个阻尼系数为$\eta$的阻尼器上，以及一个以有效压电系数$\Theta$和电容$C_p$为特征的压电元件上。例如，考虑一个如图2所示安装为悬臂梁的三层弯曲元件，其极化方向沿厚度方向。电场通过压电层的厚度方向产生，而应变在轴向方向；因此，利用了横向或{3-1}模式。与材料常数和结构几何相关的有效系数可通过模态分析推导[11, 50]：

$$M={\beta }_M(m_p+m_b)+m_a,$$ $$K={\beta }_{K}S\left\{\left(\frac{2}{3}\frac{t^3}{L^3}+\frac{h{t}^2}{L^3}+\frac{1}{2}\frac{t{h}^2}{L^3}\right)C_{p_{11}}^E+\frac{1}{12}\frac{h^3}{L^3}{C}_{b_{11}}^E\right\},$$ $$\Theta ={\beta }_{\Theta }\frac{S(h+t)}{2L}{e}_{31},$$ $$C_p=\frac{SL}{2t}{\epsilon }_{33}^S,$$

其中${\beta }_M$、${\beta }_K$和${\beta }_{\Theta }$是由Rayleigh-Ritz近似推导的常数，$e_{31}$和${\epsilon }_{33}^S$分别是压电常数和夹持介电常数，S和L是悬臂梁的宽度和轴向长度，t和h、$C_{p_{11}}^E$和$C_{b_{11}}^E$、$m_p$和$m_b$分别是压电层和中间被动层的厚度、弹性模量和质量，$m_a$是附加质量。我们进行了一系列实验，使用结构与图2相似的PZT三层弯曲元件来验证我们在第4.2节中的预测。另一种不太常见的、工作在纵向或{3-3}模式的压电发电机最近由[13]开发。利用该模式的优点是纵向压电效应通常远大于横向效应$(d_{33}>d_{31})$。

振动的压电元件产生交流电压，而电化学电池需要稳定的直流电压。这需要一个能量采集电路来确保电气兼容性。在图1中，添加了一个交直流整流器以及后续的滤波电容$C_e$来平滑直流电压。在整流器输出和电池之间放置了一个控制器来调节输出电压。图3所示的一个简化能量采集电路通常被选用于设计分析。注意，调节电路和电池被一个等效电阻R替代，$V_c$是其两端的整流电压。在后续研究中，假设整流桥是理想的。

设u为质量M的位移，$V_p$为压电元件两端的电压。振动器的控制方程可通过常规模态分析得到[5, 44]：

$$M\ddot{u}(t)+\eta \dot{u}(t)+Ku(t)+\Theta V_p(t)=F(t),\text{\hspace{1em}(1)}$$ $$-\Theta \dot{u}(t)+C_p{\dot{V}}_p(t)=-I(t).\text{\hspace{1em}(2)}$$

一个交直流采集电路连接到发电机，如图3所示，$I(t)$是流入该电路的电流，与整流电压$V_c$的关系为：

$$I(t)=\{\begin{array}{ll}{C}_e{\dot{V}}_c(t)+\frac{V_c}{R}& \text{ if }{V}_p=V_c,\\ -C_e{\dot{V}}_c(t)-\frac{V_c}{R}& \text{ if }{V}_p=-V_c,\\ 0& \text{ if }|V_p|<V_c.\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

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Base Strain ← L Poling Direction Piezoelectric Layers mₐ u(t) h t S Z(t) Vₚ +

图2. 一种常见的压电发电机：工作在{3-1}模式的悬臂梁三层弯曲元件。基座受到加速度$\ddot{z}(t)$的激励。

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Piezoelectric Vibrator Ce R Vc

图3. 典型的交直流采集电路。

施加到系统上的为简谐机械激励：

$$F(t)=F_0\sin wt\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中$F_0$为常值幅值，$w$（单位为rad s${}^{-1}$）为振动的角频率。注意，在大多数基于振动的能量采集系统中，$F(t)$的来源是如图2所示的基座加速度$\ddot{z}(t)$引起的激励。

方程(3)解释如下。如果电压$|V_p|$小于整流电压$V_c$，则整流桥处于开路状态。因此，流入电路的电流为零。另一方面，当$|V_p|$达到$V_c$时，整流桥导通，压电电压保持等于整流电压，即$|V_p|=V_c$。最后，当压电电压$|V_p(t)|$的绝对值开始减小时，整流二极管中的导通再次被阻断。

由于大多数应用要求输出直流电压$V_c$稳定，实现这一点的常用方法是假设滤波电容$C_e$足够大，使得输出电压$V_c$基本恒定[28]。具体而言，$V_c(t)=⟨V_c(t)⟩+V_{ripple}$，其中$⟨V_c(t)⟩$和$V_{ripple}$分别是$V_c(t)$的平均值和纹波。该平均值$⟨V_c(t)⟩$与$C_e$无关，前提是时间常数$R{C}_e$远大于发电机的振荡周期[10]。然而，$V_{ripple}$的大小取决于$C_e$，并且对于较大的$C_e$可以忽略。在此假设下，$V_c(t)\approx ⟨V_c(t)⟩$，因此在后续内容中，为简化符号，我们使用$V_c$而非$⟨V_c(t)⟩$来表示$V_c(t)$的平均值。

为了在稳态运行下求解方程(1)-(4)，我们首先确定整流电压平均值与位移幅值之间的关系。由方程(2)和(3)，如果整流桥被阻断且压电输出电流为零，则压电电压$V_p(t)$随位移$u(t)$成比例变化。因此，假设$u(t)$和$V_p(t)$的解具有以下形式：

$$u(t)=u_0\sin (wt-\theta ),V_p(t)=g(wt-\theta ),\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中$u_0$是位移的常值幅值，$g(t)$是一个周期为$2\pi$的周期函数，且$|g(t)|⩽V_c$。设$T:=\frac{2\pi }{w}$为振动周期，a和b为两个时间点$(b-a=\frac{T}{2})$，使得位移u从最小值$-u_0$变化到最大值$u_0$。假设在从a到b的半周期内${\dot{V}}_p⩾0$。由此可得${\int }_a^b{\dot{V}}_p(t)\mathrm{d}t=V_c-(-V_c)=2V_c$。注意，在$a<t<t^{\ast }$期间，压电电压$|V_p|<V_c$，此时$C_e{\dot{V}}_c(t)+\frac{V_c}{R}=0$；而当$t^{\ast }⩽t<b$时整流器导通。由方程(3)可得：

$${\int }_a^{b}I(t)\mathrm{d}t=\frac{T}{2}\frac{V_c}{R}\text{\hspace{1em}(6)}$$

因为在稳态运行时，流经电容$C_e$的平均电流为零，即${\int }_a^b{C}_e{\dot{V}}_c(t)\mathrm{d}t=0$。因此，对方程(2)从时间a到b积分得：

$$-2\Theta u_0+2C_p{V}_c=-\frac{T}{2}\frac{V_c}{R},$$

即：

$$V_c=\frac{w\Theta R}{w{C}_{p}R+\frac{\pi }{2}}{u}_0.\text{\hspace{1em}(7)}$$

注意，方程(7)与文献[10, 28]推导的结果相同。

平均采集功率也可以用位移幅值表示为：

$$P=\frac{V_c^2}{R}=\frac{w^2{\Theta }^{2}R}{{\left(w{C}_{p}R+\frac{\pi }{2}\right)}^2}{u}_0^2.\text{\hspace{1em}(8)}$$

因此，我们需要求出$u_0$以确定$V_c$和$P$。文献中有两种估计方法[10, 28]。我们在此提出另一种确定$u_0$的方法，并在第4节中证明该新估计比另外两种更准确。在此之前，我们引入以下将用于简化分析的无量纲参数：

$$w_n=\sqrt{\frac{K}{M}},k_e^2=\frac{{\Theta }^2}{K{C}_p},\zeta =\frac{\eta }{2\sqrt{KM}},\text{\hspace{1em}(9)}$$ $$\Omega =\frac{w}{w_n},r=C_p{w}_{n}R,$$

其中$w_n$是短路固有频率，$k_e^2$是替代机电耦合系数²，$\zeta$是阻尼比，$\Omega$和$r$分别是归一化频率和电阻。最后，由于压电结构同时表现出短路和开路刚度，系统存在两个谐振频率，它们定义为：

$${\Omega }_{\mathrm{sc}}=1,{\Omega }_{\mathrm{oc}}=\sqrt{1+k_e^2},\text{\hspace{1em}(10)}$$

---

²替代机电耦合系数$k_e^2$与常用机电耦合系数$k^2$的关系为$k^2=k_e^2/(1+k_e^2)$。 其中 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 和 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 分别是短路和开路时的频率比。注意，如果耦合因子 $k_e^2$ 较大，频率偏移将很显著。

2.2. 解耦分析

压电器件通常建模为与内部电极电容 $C_p$ 并联的电流源，如图 4 所示 [6, 7, 13, 27, 28]。该模型基于

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2 此处 $k_e^2$ 的定义与文献 [21] 中使用的略有不同。

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这样一个假设：发电机的内部电流源与外部负载的阻抗无关。这等价于假设耦合非常弱，并且项 $\Theta V_p$ 可以从 (1) 中忽略。因此，控制方程 (1) 和 (2) 简化为

$$M\ddot{u}(t)+\eta \dot{u}(t)+Ku(t)=F(t),\text{\hspace{1em}(11)}$$ $$-\Theta \dot{u}(t)+C_p{\dot{V}}_p(t)=-I(t).\text{\hspace{1em}(12)}$$

由于位移 u(t) 可以通过简谐分析从 (11) 中独立求解，$\dot{u}(t)$ 可视为图 4 所示意的已知电流源。因此，整流电压 $V_c$ 和平均收集功率 P 由 (7) 和 (8) 确定。最后，用无量纲参数 (9) 表示的归一化位移 ${\overline{u}}_0$、电压 ${\overline{V}}_c$ 和功率 $\overline{P}$ 描述为

$${\overline{u}}_0=\frac{u_0}{\frac{F_0}{K}}=\frac{1}{{\left\{4{\zeta }^2{\Omega }^2+(1-{\Omega }^2{)}^2\right\}}^{\frac{1}{2}}},\text{\hspace{1em}(13)}$$ $${\overline{V}}_c=\frac{V_c}{\frac{F_0}{\Theta }}=\left(\frac{r\Omega }{r\Omega +\frac{\pi }{2}}\right)\frac{k_e^2}{\{4{\zeta }^2{\Omega }^2+(1-{\Omega }^2{)}^2{\}}^{\frac{1}{2}}},\text{\hspace{1em}(14)}$$ $$\overline{P}=\frac{P}{\frac{F_0^2}{w_{n}M}}=\frac{1}{(r\Omega +\frac{\pi }{2}{)}^2}\frac{k_e^2{\Omega }^{2}r}{\{4{\zeta }^2{\Omega }^2+(1-{\Omega }^2{)}^2\}}.\text{\hspace{1em}(15)}$$

2.3. 同相分析

解耦模型假设机电耦合非常弱，或者振动幅度与等效电阻负载 R 无关。如果耦合不是那么弱，Guyomar 等人 [10] 提供了一种估算平均收集功率的新方法。实际上，他们假设外部激励函数与质量的速度是同相的。精确地说，(5) 变为

$$F(t)=F_0\sin wt,\dot{u}(t)=u_{0}w\sin wt.\text{\hspace{1em}(16)}$$

由于收集功率的推导过程可在 [10] 中找到，我们在此仅列出其主要结果以供后续比较。用无量纲系统参数表示的归一化位移 ${\overline{u}}_0$、电压 ${\overline{V}}_c$ 和功率 $\overline{P}$ 总结如下

$${\overline{u}}_0=\frac{u_0}{\frac{F_0}{K}}=\frac{1}{\left\{2\zeta +\frac{2k_e^{2}r}{(r\Omega +\frac{\pi }{2}{)}^2}\right\}\Omega },\text{\hspace{1em}(17)}$$ $${\overline{V}}_c=\frac{V_c}{\frac{F_0}{\Theta }}=\left(\frac{r}{r\Omega +\frac{\pi }{2}}\right)\frac{k_e^2}{\left\{2\zeta +\frac{2k_e^{2}r}{(r\Omega +\frac{\pi }{2}{)}^2}\right\}},\text{\hspace{1em}(18)}$$ $$\overline{P}=\frac{P}{\frac{F_0^2}{w_{n}M}}=\frac{1}{(r\Omega +\frac{\pi }{2}{)}^2}\frac{k_e^{2}r}{{\left\{2\zeta +\frac{2k_e^{2}r}{(r\Omega +\frac{\pi }{2}{)}^2}\right\}}^2}.\text{\hspace{1em}(19)}$$

2.4. 解析分析

对于在共振附近振动的非压电机械结构，在低阻尼情况下，$F(t)$ 与 $\dot{u}(t)$ 之间的同相假设是一个相当合理的近似。然而，我们不清楚当考虑非小的机电耦合时，这一假设是否仍然成立。因此，此处有必要对此进行详细研究。

将 (1) 乘以 $\dot{u}(t)$，将 (2) 乘以 $V_p(t)$。将这两个方程从时间 a 到 b 相加后积分，得到能量平衡方程

$${\int }_a^{b}F(t)\dot{u}(t)\mathrm{d}t={\int }_a^b\eta {\dot{u}}^2(t)\mathrm{d}t+{\int }_a^b{V}_p(t)I(t)\mathrm{d}t$$ $$+\frac{1}{2}M{\dot{u}}^2(t){|}_a^b+\frac{1}{2}K{u}^2(t){|}_a^b+\frac{1}{2}{C}_p{V}_p^2(t){|}_a^b.\text{\hspace{1em}(20)}$$

假设 $F(t),u(t)$ 和 $V_p(t)$ 由 (4) 和 (5) 给出。令 $T=\frac{2\pi }{w}$，设 a 和 b 为两个时刻 $(b-a=\frac{T}{2})$，使得位移 u 从最小值 $-u_0$ 变化到最大值 $u_0$。在这种情况下，能量平衡 (20) 变为

$${\int }_a^{b}F(t)\dot{u}(t)\mathrm{d}t={\int }_a^b\eta {\dot{u}}^2(t)\mathrm{d}t+{\int }_a^b{V}_p(t)I(t)\mathrm{d}t.\text{\hspace{1em}(21)}$$

我们假设在从 a 到 b 的这个半周期内 ${\dot{V}}_p⩾0$。注意，在 $a<t<t^{\ast }$ 期间，压电电压 $|V_p|<V_c$，此时 $C_e{\dot{V}}_c(t)+\frac{V_c}{R}=0$。这也给出对于 $a\le t<t^{\ast }$ 有 $(C_e{\dot{V}}_c(t)+\frac{V_c}{R})V_c=0$。当压电电压 $V_p$ 达到整流电压 $V_c$ 时，整流器随后导通，并且在导通期间 $t^{\ast }⩽t<b$，由 (3) 得 $V_p(t)I(t)=$ $V_c(C_e{\dot{V}}_c(t)+\frac{V_c}{R})$。上述论证表明，在稳态运行下

$${\int }_a^{b}I(t)V_p(t)\mathrm{d}t=\frac{V_c^2}{R}\frac{T}{2}\text{\hspace{1em}(22)}$$

接下来，将 (4) 和 (5) 代入能量平衡方程 (21) 得到

$$\frac{\pi }{2}\eta w{u}_0^2+\frac{\pi }{w}\frac{V_c^2}{R}=\frac{\pi }{2}{F}_0{u}_0\sin \theta .\text{\hspace{1em}(23)}$$

现在我们有两个方程 (7) 和 (23)，以及三个未知数 $u_0,V_c$ 和 θ。我们需要第三个方程来求解它们。由 (2) 可得

$$\Theta {\dot{V}}_p(t)=\frac{\Theta }{C_p}[-I(t)+\Theta \dot{u}(t)].\text{\hspace{1em}(24)}$$

将 (1) 对时间 t 求导，并将 (24) 代入其中，我们得到

$$M\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ddot{u}(t)+\eta \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dot{u}(t)+\left(K+\frac{{\Theta }^2}{C_p}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u(t)-\frac{\Theta }{C_p}I(t)$$ $$=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F(t).\text{\hspace{1em}(25)}$$

将 (25) 对时间 t 从 a 到 b 积分，并利用 (5) 和 (6)，得到

$$\left(K-M{w}^2+\frac{{\Theta }^2}{C_p}\right)u_0-\frac{\pi \Theta }{2C_{p}wR}{V}_c=F_0\cos \theta .\text{\hspace{1em}(26)}$$

最后，我们可以确定 $u_0$ 关于系统参数的表达式。结合 (23) 和 (26) 得到

$${\left\{\eta w{u}_0+\frac{2}{wR}\frac{V_c^2}{u_0}\right\}}^2$$ $$+{\left\{\left(K-M{w}^2+\frac{{\Theta }^2}{C_p}\right)u_0-\frac{\pi \Theta }{2C_{p}wR}{V}_c\right\}}^2=F_0^2.\text{\hspace{1em}(27)}$$

由于位移幅值 $u_0$ 通过 $(7)$ 与整流电压 $V_c$ 相关，上述方程 (27) 可进一步简化以求解 $u_0$。结果为

$$u_0=\frac{F_0}{{\left\{{\left(\eta w+\frac{2w{\Theta }^{2}R}{(C_{p}wR+\frac{\pi }{2}{)}^2}\right)}^2+{\left(K-w^{2}M+\frac{w{\Theta }^{2}R}{C_{p}wR+\frac{\pi }{2}}\right)}^2\right\}}^{\frac{1}{2}}}.$$

以下总结我们的主要发现：

$$\begin{array}{l}\overline{u}=\frac{u_0}{\frac{F_0}{K}}\\ =\frac{1}{{\left\{{\left(2\zeta +\frac{2k_e^{2}r}{{\left(r\Omega +\frac{\pi }{2}\right)}^2}\right)}^2{\Omega }^2+{\left(1-{\Omega }^2+\frac{\Omega k_e^{2}r}{r\Omega +\frac{\pi }{2}}\right)}^2\right\}}^{\frac{1}{2}}},\end{array}\text{\hspace{1em}(28)}$$ $${\overline{V}}_c=\frac{V_c}{\frac{F_0}{\Theta }}=\left(\frac{r\Omega }{r\Omega +\frac{\pi }{2}}\right)$$ $$\times \frac{k_e^2}{{\left\{{\left(2\zeta +\frac{2k_e^{2}r}{(r\Omega +\frac{\pi }{2}{)}^2}\right)}^2{\Omega }^2+{\left(1-{\Omega }^2+\frac{\Omega k_e^{2}r}{r\Omega +\frac{\pi }{2}}\right)}^2\right\}}^{\frac{1}{2}}},\text{\hspace{1em}(29)}$$ $$\overline{P}=\frac{P}{\frac{F_0^2}{w_{n}M}}=\frac{1}{{\left(r\Omega +\frac{\pi }{2}\right)}^2}$$ $$\times \frac{k_e^2{\Omega }^{2}r}{\left\{{\left(2\zeta +\frac{2k_e^{2}r}{(r\Omega +\frac{\pi }{2}{)}^2}\right)}^2{\Omega }^2+{\left(1-{\Omega }^2+\frac{\Omega k_e^{2}r}{r\Omega +\frac{\pi }{2}}\right)}^2\right\}},\text{\hspace{1em}(30)}$$

其中 (30) 的解释如下。假设激励函数的来源来自结构基座的振动，则 $F_0=MA$，其中 A 是激励基座的加速度幅值。因此，单位质量的收集平均功率描述为

$$\frac{P}{M}=\frac{A^2}{w_n}\overline{P}(r,\Omega ,k_e,\zeta ).$$

这表明，单位质量的收集平均功率取决于输入振动的特性（频率和加速度 A）、归一化电阻 $r$、短路共振频率 $w_n$、机械阻尼比 $\zeta$ 以及系统整体的机电耦合系数 $k_e^2$。因此，通过调节电阻、选择合适的运行点或通过优化结构设计来调整耦合系数以实现功率优化的方案，完全可以由 (30) 来指导。

3. 最优电阻与功率

假设 $\Omega ,k_e$ 和 ζ 固定。通过根据下式调节负载阻抗，可以得到在稳态运行下达到最大功率流的设计准则

$$\frac{\partial }{\partial r}\overline{P}(r,\Omega ,k_e,\zeta ){|}_{\Omega ,k_e,\zeta }=0.\text{\hspace{1em}(31)}$$

我们用符号 $r^{\mathrm{opt}}$ 表示 (31) 的解，通常情况下 $r^{\mathrm{opt}}=r^{\mathrm{opt}}(\Omega ,k_e,\zeta )$。此外，上标 ${}^{\mathrm{opt}}$ 表示在最优负载电阻 $r^{\mathrm{opt}}$ 下计算的函数。例如，

$${\overline{P}}^{\mathrm{opt}}=\overline{P}(r^{\mathrm{opt}},\Omega ,k_e,\zeta );\text{ 等。 }$$

选择合适的运行频率对于最大化平均收集功率也很重要，我们将在 3.3 节讨论这一点。

3.1. 解耦分析

将 (15) 代入 (31)，我们得到最优负载为

$$r^{\text{ opt }}=\frac{\pi }{2\Omega }\text{ 或 }{R}^{\text{ opt }}=\frac{\pi }{2C_{p}w}.\text{\hspace{1em}(32)}$$

由 (13)、(14) 和 (15) 可知，在最优负载下评估的归一化位移、电压和功率为

$${\overline{u}}_0^{\mathrm{opt}}=\frac{u_0^{\mathrm{opt}}}{\frac{F_0}{K}}=\frac{1}{{\left\{4{\zeta }^2{\Omega }^2+(1-{\Omega }^2{)}^2\right\}}^{\frac{1}{2}}},\text{\hspace{1em}(33)}$$ $${\overline{V}}_c^{\mathrm{opt}}=\frac{V_c^{\mathrm{opt}}}{\frac{F_0}{\Theta }}=\frac{1}{2}\frac{k_e^2}{{\left\{4{\zeta }^2{\Omega }^2+(1-{\Omega }^2{)}^2\right\}}^{\frac{1}{2}}},\text{\hspace{1em}(34)}$$ $${\overline{P}}^{\text{ opt }}=\frac{P^{\text{ opt }}}{\frac{F_0^2}{w_{n}M}}=\frac{1}{2\pi }\frac{k_e^2\Omega }{\left\{4{\zeta }^2{\Omega }^2+(1-{\Omega }^2{)}^2\right\}}.\text{\hspace{1em}(35)}$$

在解耦模型中，可以通过将负载阻抗与压电发电机的内部阻抗匹配来实现最优收集功率流，即 $R^{\mathrm{opt}}=\frac{\pi }{2C_{p}w}$。此外，整流电压 $V_c^{\mathrm{opt}}=\frac{1}{2}{V}_{\mathrm{oc}}$，其中 $V_{\mathrm{oc}}$ 是解耦模型在开路条件下的最大电压 [28]。

3.2. 同相分析

Lefeuvre 等人 [19] 对解耦模型的合理性提出了质疑，并基于同相假设提出了一种修正的最优负载估算方法。结果根据 $\frac{k_e^2}{\zeta }-2\pi \Omega$ 的不等式关系进行分类，并列出于下以便后续比较。

情况 1：$\frac{k_e^2}{\zeta }-2\pi \Omega ⩽0$。在最优条件下的最优归一化负载、位移、电压和功率为

$$r_o^{\text{ opt }}=\frac{\pi }{2\Omega },\text{\hspace{1em}(36)}$$ $${\overline{u}}_0^{\mathrm{opt}}=\frac{u_0^{\mathrm{opt}}}{\frac{F_0}{K}}=\frac{1}{\left\{2\zeta \Omega +\frac{k_e^2}{\pi }\right\}},\text{\hspace{1em}(37)}$$ $${\overline{u}}_0^{\mathrm{opt}}=\frac{u_0^{\mathrm{opt}}}{\frac{F_0}{K}}=\frac{1}{\left\{2\zeta \Omega +\frac{k_e^2}{\pi }\right\}},\text{\hspace{1em}(37)}$$ $${\overline{V}}_c^{\text{ opt }}=\frac{V_c^{\text{ opt }}}{\frac{F_0}{\Theta }}=\frac{1}{2}\frac{k_e^2}{\left\{2\zeta \Omega +\frac{k_e^2}{\pi }\right\}},\text{\hspace{1em}(38)}$$ $${\overline{P}}^{\text{ opt }}=\frac{P^{\text{ opt }}}{\frac{F_0^2}{w_{n}M}}=\frac{1}{2\pi }\frac{k_e^2\Omega }{{\left\{2\zeta \Omega +\frac{k_e^2}{\pi }\right\}}^2}.\text{\hspace{1em}(39)}$$

注意最优电阻 (36) 与 (32) 相同，且 (39) 中的最优功率在 $\frac{k_e^2}{\zeta }\ll 1$ 且 $\Omega \approx 1$ 的条件下接近于 (35)。

情形2： $\frac{k_e^2}{\zeta }-2\pi \Omega ⩾0.$ 假设机电耦合系数 $k_e^2$ 较大而阻尼较小。此时 (36) 中的最优电阻 $r_o^{\mathrm{opt}}$ 实际上是使功率流最小的电阻。在此情形下，最大化功率存在两个新的最优电阻，分别记为 $r_a^{\mathrm{opt}}$ 和 $r_b^{\mathrm{opt}}$，相应的归一化位移、电压和功率为

$$r_a^{\text{ opt }}=\frac{1}{2{\Omega }^2}\left\{\left(\frac{k_e^2}{\zeta }-\pi \Omega \right)-\sqrt{{\left(\frac{k_e^2}{\zeta }-\pi \Omega \right)}^2-(\pi \Omega {)}^2}\right\},\text{\hspace{1em}(40)}$$ $$r_b^{\text{ opt }}=\frac{1}{2{\Omega }^2}\left\{\left(\frac{k_e^2}{\zeta }-\pi \Omega \right)+\sqrt{{\left(\frac{k_e^2}{\zeta }-\pi \Omega \right)}^2-(\pi \Omega {)}^2}\right\}.\text{\hspace{1em}(41)}$$ $${{\overline{u}}_0^{\text{ opt }}|}_{r=r_a^{\text{ opt }}}={\frac{u_0^{\text{ opt }}}{\frac{F_0}{K}}|}_{r=r_a^{\text{ opt }}}={{\overline{u}}_0^{\text{ opt }}|}_{r=r_b^{\text{ opt }}}={\frac{u_0^{\text{ opt }}}{\frac{F_0}{K}}|}_{r=r_b^{\text{ opt }}}=\frac{1}{4\zeta \Omega },\text{\hspace{1em}(42)}$$ $${{\overline{V}}_c^{\text{ opt }}|}_{r=r_a^{\text{ opt }}}={\frac{V_c^{\text{ opt }}}{\frac{F_0}{\Theta }}|}_{r=r_a^{\text{ opt }}}=\frac{k_e^2}{8\zeta \Omega }\left\{1-\sqrt{1-\frac{2\pi \Omega }{\frac{k_e^2}{\zeta }}}\right\},\text{\hspace{1em}(43)}$$ $${{\overline{V}}_c^{\text{ opt }}|}_{r=r_b^{\text{ opt }}}=\frac{V_c^{\text{ opt }}}{\frac{F_0}{\Theta }}{|}_{r=r_b^{\text{ opt }}}=\frac{k_e^2}{8\zeta \Omega }\left\{1+\sqrt{1-\frac{2\pi \Omega }{\frac{k_e^2}{\zeta }}}\right\},\text{\hspace{1em}(44)}$$ $$\begin{array}{l}{\overline{P}}^{\text{opt}}{|}_{r=r_a^{\text{opt}}}={\frac{P^{\text{opt}}}{\frac{F_0^2}{w_{n}M}}|}_{r=r_a^{\text{opt}}}={\overline{P}}^{\text{opt}}{|}_{r=r_b^{\text{opt}}}={\frac{P^{\text{opt}}}{\frac{F_0^2}{w_{n}M}}|}_{r=r_b^{\text{opt}}}\\ =\frac{1}{16\zeta }.\end{array}\text{\hspace{1em}(45)}$$

注意到 $r_a^{\mathrm{opt}}<r_o^{\mathrm{opt}}<r_b^{\mathrm{opt}}$ 。有趣的是，采集到的平均功率具有两个相同的极大值，且仅取决于发电机的内阻尼。Lefeuvre 等人 [19] 将两个最优电阻的出现解释为强耦合系统的特征。然而，对此需谨慎对待，因为在同相模型中，只要满足 $\frac{k_e^2}{\zeta }-2\pi \Omega \ge 0$，每个施加频率下总是存在两个最优负载。我们将在第3.3节中对此进行讨论。

3.3. 解析分析

解析分析得到的功率由 (30) 式给出。尽管该式广泛地描述了采集系统的特性，但 (30) 式的复杂性使得难以从 (31) 式推导出最优电阻的闭式解。作为替代，我们根据参数 $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 的不同取值范围讨论 (30) 式的函数行为。我们在第4.1节和第4.2节中分别研究 $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 的小量范围和中等范围。这里我们提供的分析表明，只要 $\frac{k_e^2}{\zeta }\gg 1$，所采集的功率可以在两个不同的电阻负载上分别达到最大，且对应不同的工作点。然而，我们并不确切知道在什么条件下存在两个最优配对。但如果将图3所示的AC–DC采集电路改为纯AC电路，则可以证明只要满足

$$\frac{k_e^2}{\zeta }⩾4(\zeta +1).$$

就会存在两个最优配对。

回到标准的AC–DC电路，我们大量数值模拟的结果表明，经验法则为

$$\frac{k_e^2}{\zeta }⩾10\text{\hspace{1em}(46)}$$

时出现两个最优配对，我们将以此作为强耦合机电系统的设计准则。

情形1：短路谐振。 在 $\Omega ={\Omega }_{\mathrm{sc}}=1$ 时，(30) 式中的功率P可以表示为

$$\frac{P}{\frac{F_0^2}{w_{n}M}}=\frac{1}{\zeta }\frac{rx}{\left\{4{\left[\left(r+\frac{\pi }{2}\right)+\frac{rx}{\left(r+\frac{\pi }{2}\right)}\right]}^2+r^2{x}^2\right\}},\text{\hspace{1em}(47)}$$

其中 $x=\frac{k_e^2}{\zeta }$ 。假设参数 $x\gg 1$ 。要优化 (47) 式中的功率，r 必须很小或与 x 的倒数成正比；否则，当 x 极大时，若 r 非小，功率将趋于零。由此可得，当 r 很小且 $x\gg 1$ 时，

$$\frac{P}{\frac{F_0^2}{w_{n}M}}\approx \frac{1}{\zeta }\frac{rx}{\left\{4{\left[\frac{\pi }{2}+\frac{2}{\pi }rx\right]}^2+r^2{x}^2\right\}}\text{\hspace{1em}(48)}$$

对 (48) 式关于 r 求导，可得最优功率流。于是有

$$r_{\mathrm{sc}}^{\text{ opt }}\approx \left(\frac{{\pi }^2}{\sqrt{16+{\pi }^2}}\right)\frac{1}{\frac{k_e^2}{\zeta }}\text{ 若 }x=\frac{k_e^2}{\zeta }\gg 1.\text{\hspace{1em}(49)}$$

相应的归一化位移、电压和功率为

$${\overline{u}}_0^{\mathrm{opt}}=\frac{u_0^{\mathrm{opt}}}{\frac{F_0}{K}}\approx \sqrt{\frac{16+{\pi }^2}{32+2{\pi }^2+8\sqrt{16+{\pi }^2}}}\frac{1}{2\zeta },\text{\hspace{1em}(50)}$$ $${\overline{V}}_c^{\mathrm{opt}}=\frac{V_c^{\mathrm{opt}}}{\frac{F_0}{\Theta }}\approx \frac{\pi }{\sqrt{32+2{\pi }^2+8\sqrt{16+{\pi }^2}}},\text{\hspace{1em}(51)}$$ $${\overline{P}}^{\text{ opt }}=\frac{P_{opt}}{\frac{F_0^2}{w_{n}M}}\approx \left(\frac{1}{8+2\sqrt{16+{\pi }^2}}\right)\frac{1}{\zeta }.\text{\hspace{1em}(52)}$$

情形2：开路谐振。 再次设 $x=\frac{k_e^2}{\zeta }$ 。在施加频率为 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}=\sqrt{1+k_e^2}$ 时，(30) 式中的功率P可表示为

$$\frac{P}{\frac{F_0^2}{w_{n}M}}=\frac{1}{\zeta }\frac{rx{\Omega }_{\mathrm{oc}}^2}{\left\{4{\left[(r{\Omega }_{\mathrm{oc}}+\frac{\pi }{2})+\frac{rx}{(r{\Omega }_{\mathrm{oc}}+\frac{\pi }{2})}\right]}^2{\Omega }_{\mathrm{oc}}^2+\frac{{\pi }^2}{4}{x}^2\right\}}.\text{\hspace{1em}(53)}$$

为估计 $x\gg 1$ 情况下 (53) 式的最优功率，通过考察 $\frac{{\pi }^2}{4}{x}^2$ 项中的 r x 项，要使 (53) 式最大化，r 必须与 x 成正比。因此，可将 (53) 式重写为

$$\frac{P}{\frac{F_0^2}{w_{n}M}}\approx \frac{1}{\zeta }\frac{rx{\Omega }_{\mathrm{oc}}^2}{\left\{4{\left[r{\Omega }_{\mathrm{oc}}+\frac{x}{{\Omega }_{\mathrm{oc}}}\right]}^2{\Omega }_{\mathrm{oc}}^2+\frac{{\pi }^2}{4}{x}^2\right\}}\text{\hspace{1em}(54)}$$

表1. 系统参数 $k_e^2$ 和 $\zeta$ 与在短路谐振 $({\Omega }_{\text{sc}})$ 和开路谐振 $({\Omega }_{\text{oc}})$ 下最大功率流处设计的归一化电阻、位移、电压、电流和功率之间的关系。归一化电流定义为 $\overline{I}=\frac{{\overline{V}}_c}{r}$ 。注意分析中隐含了条件 $\frac{k_e^2}{\zeta }\gg 1$。

最优条件	${\Omega }_{\text{sc}}$		${\Omega }_{\text{oc}}$
电阻	$r_{\text{sc}}^{\text{opt}}\propto \frac{1}{\frac{k_e^2}{\zeta }}$	<	$r_{\text{oc}}^{\text{opt}}\propto \frac{1}{(1+k_e^2)}\frac{k_e^2}{\zeta }$
位移	${\overline{u}}_0^{\text{opt}}\propto \frac{1}{\zeta }$	>	${\overline{u}}_0^{\text{opt}}\propto \frac{1}{\zeta (\sqrt{1+k_e^2})}$
电压	${\overline{V}}_c^{\text{opt}}\propto 1$	<	${\overline{V}}_c^{\text{opt}}\propto \frac{1}{\sqrt{1+k_e^2}}\frac{k_e^2}{\zeta }$
电流	${\overline{I}}^{\text{opt}}\propto \frac{k_e^2}{\zeta }$	>	${\overline{I}}^{\text{opt}}\propto \sqrt{1+k_e^2}$
功率	${\overline{P}}^{\text{opt}}\propto \frac{1}{\zeta }$	=	${\overline{P}}^{\text{opt}}\propto \frac{1}{\zeta }$

当 $x\gg 1$ 时成立。对 (54) 式关于 r 求导，可得最优功率流。于是有

$$r_{\mathrm{oc}}^{\mathrm{opt}}\approx \frac{\sqrt{16+{\pi }^2}}{4}\frac{\frac{k_e^2}{\zeta }}{1+k_e^2}\text{ 若 }x=\frac{k_e^2}{\zeta }\gg 1.\text{\hspace{1em}(55)}$$

相应的归一化位移、电压和功率为

$${\overline{u}}_0^{\mathrm{opt}}=\frac{u_0^{\mathrm{opt}}}{\frac{F_0}{K}}\approx \sqrt{\frac{16+{\pi }^2}{32+2{\pi }^2+8\sqrt{16+{\pi }^2}}}\frac{1}{2\zeta \sqrt{1+k_e^2}},\text{\hspace{1em}(56)}$$ $${\overline{V}}_c^{\text{ opt }}=\frac{V_c^{\text{ opt }}}{\frac{F_0}{\Theta }}\approx \sqrt{\frac{16+{\pi }^2}{32+2{\pi }^2+8\sqrt{16+{\pi }^2}}}\frac{k_e^2}{2\zeta \sqrt{1+k_e^2}},\text{\hspace{1em}(57)}$$ $${\overline{P}}^{\text{ opt }}=\frac{P^{\text{ opt }}}{\frac{F_0^2}{w_{n}M}}\approx \left(\frac{1}{8+2\sqrt{16+{\pi }^2}}\right)\frac{1}{\zeta }.\text{\hspace{1em}(58)}$$

讨论： 当 $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 较大时，我们发现每个施加频率下只有一个最优负载能使功率输出最大化。此外，我们还证明了采集到的功率具有两个相同的峰值，但在不同的电阻和工作频率下达到最优，即

$$\overline{P}(r_{\mathrm{sc}}^{\mathrm{opt}},{\Omega }_{\mathrm{sc}},k_e,\zeta )=\overline{P}(r_{\mathrm{oc}}^{\mathrm{opt}},{\Omega }_{\mathrm{oc}},k_e,\zeta )$$

只要 $\frac{k_e^2}{\zeta }\gg 1$ 。这些结果与同相假设下得到的结果形成对比。在同相模型中，只要每个施加频率满足 $\frac{k_e^2}{\zeta }-2\pi \Omega \ge 0$，就总是存在由 (40) 式给出的两个最优电阻（另见图9(f)）。此外，同相模型预测在两个最优负载下的位移相同（见 (42) 式），而我们的解析分析预测位移的峰值不相等；比较 (50) 和 (56) 式。这一结果对于微尺度发电机的设计至关重要 [5]。

接下来，(49) 和 (55) 式表明 $r_{\mathrm{sc}}^{\mathrm{opt}}\propto \frac{1}{(k_e^2/\zeta )}\ll 1$，而 $r_{\mathrm{oc}}^{\mathrm{opt}}⩽\frac{1}{\zeta }$。因此，可以通过增大机电耦合系数 $k_e^2$ 使 $r_{\mathrm{sc}}^{\mathrm{opt}}$ 尽量小，而 $r_{\mathrm{oc}}^{\mathrm{opt}}$ 存在一个上界。最后，表1总结了系统参数 $k_e^2$ 和 $\zeta$ 与在短路谐振 $({\Omega }_{\text{sc}})$ 或开路谐振 $({\Omega }_{\text{oc}})$ 下最大功率流处设计的归一化负载、位移、电压、电流和功率之间的关系。

4. 比较

我们现在展示：在第4.1节中，当参数 $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 较小时，不同方法得出的各种功率形式几乎相同；我们还将使用包含实验验证的示例来证明，随着参数 $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 增大，这些分析之间的差异变得显著。在第4.3节中，我们发现当 $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 较大时，平均采集功率在两个不同频率下工作的最优负载处达到最大化。

4.1. $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 较小的情况

假设 $k_e^2\ll 1$ 且 $\frac{k_e^2}{\zeta }\ll 1$ 。因此，对于较小的 $k_e^2$，从 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 到 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 的频率偏移并不明显。令施加频率比 $\Omega$ 工作在 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 和 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 之间。我们可设

$${\Omega }^2=1+f{k}_e^2,0⩽f⩽1.$$

设 $x=\frac{k_e^2}{\zeta }$ 。由解析分析 (30) 式推导出的功率P可表示为

$$\begin{array}{l}\frac{P}{\frac{F_0^2}{w_{n}M}}=\frac{r}{4\zeta (r\Omega +\frac{\pi }{2}{)}^2}\\ \times \frac{x}{\left\{{\left(1+\frac{xr}{(r\Omega +\frac{\pi }{2}{)}^2}\right)}^2+\frac{x^2}{4{\Omega }^2}{\left(-f+\frac{\Omega r}{r\Omega +\frac{\pi }{2}}\right)}^2\right\}}\\ \approx \frac{rx}{4\zeta {\left(r\Omega +\frac{\pi }{2}\right)}^2}\{1+O(x)\}\\ \approx \frac{k_e^{2}r}{4{\zeta }^2{\left(r\Omega +\frac{\pi }{2}\right)}^2}\end{array}\text{\hspace{1em}(59)}$$

当 $x\ll 1$ 且 $\Omega \approx {\Omega }_{\mathrm{sc}}\approx {\Omega }_{\mathrm{oc}}\approx 1$ 时成立。记号 O(x) 表示当 x 趋于零时趋于零的高阶项。将 (59) 式与解耦假设 (15) 式和同相假设 (19) 式推导出的功率进行比较，验证了我们的论断。图5(a)和(b)给出了在 $k_e=0.05$ 和 $\zeta =0.03$ 情况下，谐振附近的归一化整流电压和平均采集功率随归一化电阻的变化关系。实线、虚线和长虚线分别表示解析解、同相解和解耦解的结果。这三条曲线几乎重合。因此我们得出结论：当 $\frac{k_e^2}{\zeta }\ll 1$ 时，传统的解耦解是适用的。

4.2. $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 为中等大小的情况

当比值 $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 增大时，这些方法之间的差异变得显著。对于工作在 {3-1} 模式下的压电发电机，如果结构完全由压电材料制成 [5]，$k_e^2$ 可趋近于 $\frac{e_{31}^2}{C_{11}^E{\epsilon }_{33}^S}$。大多数机电结构由压电材料和非压电材料共同构成。此时因子 $k_e^2$ 通常小于理论值。另一方面，对于微尺度器件，由于压电元件对整体结构刚度的贡献显著 [5]，耦合系数 $k_e^2$ 可趋近其上界。因此我们在此对其进行详细研究。在接下来的分析中，我们假设 $k_e=0.4$ 且 $\zeta =0.03(\frac{k_e^2}{\zeta }=5.33)$。

数据

归一化电阻	解析解	同相解	解耦解
0	0.0000	0.0000	0.0000
1	0.0150	0.0150	0.0150
2	0.0250	0.0250	0.0250
3	0.0300	0.0300	0.0300
4	0.0325	0.0325	0.0325
5	0.0340	0.0340	0.0340
6	0.0345	0.0345	0.0345
7	0.0350	0.0350	0.0350
8	0.0352	0.0352	0.0352
9	0.0354	0.0354	0.0354
10	0.0355	0.0355	0.0355

数据

归一化电阻	解析解	同相解	解耦解
0	0.0000	0.0000	0.0000
1	0.1080	0.1090	0.1070
2	0.1100	0.1110	0.1090
3	0.1050	0.1060	0.1040
4	0.0950	0.0960	0.0940
5	0.0850	0.0860	0.0840
6	0.0750	0.0760	0.0740
7	0.0650	0.0660	0.0640
8	0.0550	0.0560	0.0540
9	0.0500	0.0510	0.0490
10	0.0450	0.0460	0.0440

图5. $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 较小情况下的比较。我们使用 $k_e=0.05$ 和 $\zeta =0.03(\frac{k_e^2}{\zeta }=0.083)$ 。(a) 归一化整流电压与归一化电阻的关系。(b) 归一化采集功率与归一化电阻的关系。

在短路谐振下运行的归一化位移、电压和功率与归一化电阻的关系绘制于图6(a)–(c)，在开路谐振下运行的结果绘制于图6(d)–(f)。

（未完待续） 归一化位移、电压和功率相对于归一化电阻的曲线分别绘制在图6(a)–(c)（短路共振工况）和图6(d)–(f)（开路共振工况）中。长虚线、虚线和实线分别表示基于解耦解、同相解和解析解的计算结果。正如预期，由于此时机电耦合系数并不小，解耦分析的结果与解析解或同相解的预测相差甚远。因此我们得出结论：解耦解不适用于中等或较大的 $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 情况。

图6还揭示了我们的解析分析与同相分析之间的显著差异。因此，我们同时采用仿真和实验来确定哪种方法能更准确地预测能量采集系统的行为。首先考虑数值仿真。注意，方程(1)和(2)可以转化为一个等效RLC电路，其中 $R=\frac{\eta }{{\Theta }^2}$ 为电阻，$L=\frac{M}{{\Theta }^2}$ 为电感，$C=\frac{{\Theta }^2}{K}$ 为电容。我们使用PSpice软件对该等效电路（连接至图3所示的AC–DC采集电路）进行仿真。结果如图7所示，图中绘制了在短路和开路共振条件下归一化功率随电阻变化的曲线。数值结果在图7中用空心圆标记。显然，数值仿真支持基于我们解析解的预测结果。特别是，我们的方法准确地预测了使平均采集功率最大化的最优电阻负载。优化负载 $r_{\mathrm{sc}}^{\mathrm{opt}}$ (解析解) = 0.45 在 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 处较小，而 $r_{\mathrm{oc}}^{\mathrm{opt}}$ (解析解) = 4.64 在 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 处较大。然而，同相解预测的 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 和 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 处的最优电阻非常接近：$r_{\mathrm{sc}}^{\mathrm{opt}}$ (同相解) = 1.57 和 $r_{\mathrm{oc}}^{\mathrm{opt}}$ (同相解) = 1.46，因此不适用于实际设计。

(接上页)

最后，我们通过近期的实验验证了解析解。试件为一个压电三层弯曲梁，整体尺寸为 40 mm × 20 mm × 0.36 mm $(L\times S\times (h+2t))$，如图2所示。梁的总质量为 $m_p+m_b=2.2509\mathrm{g}$，并在末端附加质量 $m_a=0.4207\mathrm{g}$。实测的开路和短路共振频率分别为52.9 Hz和53.7 Hz，对应的耦合系数k约为0.17。机械阻尼比实测约为0.01，因此 $\frac{k_e^2}{\zeta }=2.89$。施加的加速度约为1.856 m ${\mathrm{s}}^{-2}$，且随电阻略有变化。功率采集电路采用图3所示的标准AC–DC电路。在图8(a)中，使用实心圆•标记了开路共振条件下不同电阻对应的整流电压V测量值。相应的采集功率值随电阻的变化绘制于图8(b)中。从图8(b)可确定最优电阻约为 $R_{\exp }^{\mathrm{opt}}\approx 200\mathrm{k}\Omega$。解耦解、同相解和解析解的预测结果在图8中分别用长虚线、虚线和实线表示。正如预期，解耦解无法反映系统的电学性能。同相解也高估了功率，并低估了最优负载 $(R_{\mathrm{in}-\mathrm{phase}}^{\mathrm{opt}}\approx 88\mathrm{k}\Omega )$。实验观测到的最优负载约为 $R_{\mathrm{analytic}}^{\mathrm{opt}}$ ≈ 210 kΩ，与实验值非常接近。

4.3. 大 $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 情况

如果压电常数或压电元件对整体刚度的贡献较大（即 $k_e^2$ 较大），频率偏移将十分显著。特别地，以{3-3}（纵向）模式工作的压电发电器，若压电元件构成整个结构[5]，其耦合系数 $k_e^2$ 可接近 $\frac{e_{33}^2}{C_{33}^E{\epsilon }_{33}^S}$。此外，如果机械阻尼比很小，或者因子 $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 很大，选择正确的工作频率对于实现最大功率至关重要。近年来，大量实验致力于制造小型化压电悬臂梁，通过在其表面制备叉指电极以利用各种材料产生{3-3}模式[12, 13, 47]。其中一些选用的材料，如PZN-PT和PMN-PT弛豫铁电体，其压电常数甚至高于传统PZT。因此，在这些微尺度器件中，由于 $k_e^2$ 较大，预计共振频率偏移将十分显著，我们现在研究这一效应对功率采集的影响。

图6. 中等 $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 情况的比较。采用 $k_e=0.4$ 和 $\zeta =0.03(\frac{k_e^2}{\zeta }=5.33)$：(a)–(c) 是 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 工况下归一化位移、电压和功率随归一化电阻的变化；(d)–(f) 是 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 工况下的相应曲线。

我们取 $k_e=1.14$，$\zeta =0.03$，得到 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}=1$，${\Omega }_{\mathrm{oc}}=1.52$，$\frac{k_e^2}{\zeta }=43.3$。如第4.2节所述，若 $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 不小，解耦分析的预测结果不切实际，在此略去。基于解析解计算得到的归一化位移、电压和功率随归一化电阻和频率的变化绘制于图9(a)–(c)，基于同相解计算的结果绘制于图9(d)–(f)。在图9(c)中，我们清晰地看到采集功率在两个不同的电阻和频率处有两个相等的最优值；即 $\overline{P}$ 在以下两点取得最大值：

line

归一化电阻	仿真	解析解	同相解
0	1.0	1.75	2.0
1	1.6	1.7	2.0
2	1.4	1.5	2.0
3	1.2	1.3	2.0
4	1.0	1.1	2.0
5	0.8	0.9	2.0
6	0.7	0.8	2.0
7	0.6	0.7	2.0
8	0.5	0.6	2.0
9	0.4	0.5	2.0
10	0.3	0.4	2.0

line

归一化电阻	仿真	解析解	同相解
0	0.25	0.25	0.25
1	1.0	1.0	2.0
2	1.5	1.5	1.8
3	1.7	1.7	1.6
4	1.75	1.75	1.5
5	1.75	1.75	1.4
6	1.7	1.7	1.3
7	1.65	1.65	1.2
8	1.6	1.6	1.1
9	1.55	1.55	1.0
10	1.5	1.5	0.9

图7. 中等 $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 情况下的数值验证。采用 $k_e=0.4$ 和 $\zeta =0.03(\frac{k_e^2}{\zeta }=5.33)$。归一化功率随归一化电阻的变化：(a) 在 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 工况下；(b) 在 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 工况下。

line

电阻 (kΩ)	实验	解析解	同相解	解耦解
0	0.8	0.9	1.0	1.1
50	1.2	1.3	1.4	1.5
100	1.8	1.9	2.0	2.1
150	2.5	2.6	2.7	2.8
200	3.0	3.1	3.2	3.3
250	3.5	3.6	3.7	3.8
300	4.0	4.1	4.2	4.3
350	4.5	4.6	4.7	4.8
400	5.0	5.1	5.2	5.3
450	5.5	5.6	5.7	5.8
500	6.0	6.1	6.2	6.3
550	6.5	6.6	6.7	6.8
600	7.0	7.1	7.2	7.3
650	7.5	7.6	7.7	7.8
700	8.0	8.1	8.2	8.3

line

电阻 (kΩ)	实验	解析解	同相解	解耦解
0	25	25	25	25
50	30	40	60	95
100	50	60	70	90
150	60	70	75	85
200	70	75	78	80
250	70	75	78	75
300	70	75	78	70
350	68	73	75	65
400	67	70	72	60
450	66	68	70	55
500	65	66	68	50
550	63	64	66	45
600	62	62	64	40
650	61	60	62	35
700	60	58	60	30

图8. 中等 $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 情况下的实验验证。结构在开路共振条件下被激励。$k_e$ 和 $\zeta$ 实测值分别为0.17和0.01 $(\frac{k_e^2}{\zeta }=2.89)$。(a) 整流电压随电阻的变化。(b) 采集功率随电阻的变化。

$$\left(r_1^{\text{ opt }},{\Omega }_1^{\text{ opt }}\right)=(0.062,1.025),\text{\hspace{1em}(60)}$$ $$(r_2^{\mathrm{opt}},{\Omega }_2^{\mathrm{opt}})=(17.299,1.492).$$

注意，(60)证实了我们在第3.3节的理论预测，即 $r_1^{\mathrm{opt}}\ll 1$ 且 ${\Omega }_1^{\mathrm{opt}}\approx {\Omega }_{\mathrm{sc}}$，而 $r_2^{\mathrm{opt}}\gg 1$ 且 ${\Omega }_2^{\mathrm{opt}}\approx {\Omega }_{\mathrm{oc}}$。然而，同相方法无法预测最优工作频率，因为如图9(f)所示，每个施加频率下总是存在两个最优电负载。同相分析忽略了最优工作频率选择对产生所需性能的影响，而这一影响在设计准则中十分重要。

通过沿(31)式得到的曲线 $r^{\mathrm{opt}}(\Omega ,k_e,\zeta )$ 改变电负载，可以在这两个峰值之间切换。这一结果可用于提高电池充电效率。实际上，Ottman等人[28]已经证明，在没有适当控制器的情况下直接对电池充电的效率相当低。其主要原因是电池的等效电阻远小于最优电阻。改变负载阻抗需要特殊的功率变换器[29]，而这可能消耗额外的采集能量，使电路设计不切实际（参见[43]的讨论）。另一种方案是，如果压电发电器具有显著的频率偏移和较大的 $\frac{k_e^2}{\zeta }$，则通过选择靠近 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 的合适工作点，可以使电池的等效阻抗与最优负载匹配，因为采集功率在该区域附近有一个峰值。

surface_3d

归一化电阻	归一化位移
10^-4	9
10^0	12
10^2	18
10^4	21

surface_3d

归一化电阻	归一化频率	归一化位移
10^-4	1.6	9
10^-2	1.2	6
10^0	0.8	3
10^2	1.6	9
10^4	21	15

surface_3d

归一化频率	归一化电压
1.6	0
1.4	0
1.2	0
1.0	0
0.8	0
0.6	0
0.4	0
0.2	0
0.1	0
0.05	0
0.02	0
0.01	0
0.005	0
0.002	0
0.001	0
0.0005	0
0.0002	0
0.0001	0
0.00005	0
0.00002	0
0.00001	0
0.000005	0
0.000002	0
0.000001	0
0.0000005	0
0.0000002	0
0.0000001	0
0.00000005	0
0.00000002	16
0.00000001	16
0.000000005	16
0.000000002	16
0.000000001	16
0.0000000005	16
0.0000000002	16
0.0000000001	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16

line

归一化频率	归一化功率
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16
1	16

line

归一化频率	归一化功率
1.6	0.0
1.4	0.4
1.2	1.2
1.0	2.4
0.8	1.6
0.6	0.8
0.4	0.4
0.2	0.2
0.1	0.1
0.05	0.05
0.02	0.02
0.01	0.01
0.005	0.005
0.002	0.002
0.001	0.001
0.0005	0.0005
0.0002	0.0002
0.0001	0.0001
0.00005	0.00005
0.00002	0.00002
0.00001	0.00001
0.000005	0.000005
0.000002	0.000002
0.000001	0.000001
0.0000005	0.0000005
0.0000002	0.0000002
0.0000001	0.0000001
0.00000005	0.00000005
0.00000002	0.00000002
0.00000001	0.00000001

surface_3d

归一化频率	归一化功率	归一化电阻
1.6	2.4	10^0
1.4	2.0	10^0
1.2	1.6	10^0
1.0	1.2	10^0
0.8	0.8	10^0
0.6	0.4	10^0
0.4	0.2	10^0
0.2	0.1	10^0
0.1	0.05	10^0
0.05	0.02	10^0
0.02	0.01	10^0
0.01	0.005	10^0
0.005	0.002	10^0
0.002	0.001	10^0
0.001	0.0005	10^0
0.0005	0.0002	10^0
0.0002	0.0001	10^0
0.0001	0.00005	10^0
0.00005	0.00002	10^0
0.00002	0.00001	10^0
0.00001	0.000005	10^0
0.000005	0.000002	10^0
0.000002	0.000001	10^0
0.000001	0.0000005	10^0
0.0000005	0.0000002	10^0
0.0000002	0.0000001	10^0
0.0000001	0.00000005	10^0

图9. 大 $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 情况下的比较。我们使用 $k_e=1.14$ 和 $\zeta =0.03$（$\frac{k_e^2}{\zeta }=43.3$）。(a)–(c) 基于解析解计算，(d)–(f) 基于同相解计算，分别展示了归一化位移、电压和功率随归一化电阻和频率的变化关系。 （此图为电子版彩色图）

接下来，与功率不同，在这两种最优条件（60）下评估的位移和电压存在显著差异（对比图9(a)、(b)与(c)）。位移有两个峰值，一个集中在 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 附近，另一个集中在 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 附近。但与功率不同的是，位移在 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 处比在 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 处更大，因为系统在开路谐振时的整体阻尼更高（见表1的预测值）。若偏好更小的器件，则在靠近 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 的第二峰处运行可节省空间。

最后，图9(b)清楚地表明，在 $(r_2^{\mathrm{opt}},{\Omega }_2^{\mathrm{opt}})$ 处评估的归一化整流电压比在 $(r_1^{\mathrm{opt}},{\Omega }_1^{\mathrm{opt}})$ 处评估的高出大约一个数量级。因此，在微型器件中，在开路谐振处运行有利于克服整流桥的最小电压要求。另一方面，在 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 附近功率第一峰处评估的稳态电流比在 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 附近功率第二峰处评估的高出一个数量级，因为 $P=IV$，且在这两个峰值处最优功率相同。我们可以将此结果应用于电池充电。实际上，优化流入电池的功率等效于最大化流入电池的电流，因为电池电压基本恒定或变化缓慢。因此，在短路谐振处运行并配合相应的最优负载，可以在无需可调变换器的情况下直接提高电池充电效率。

5. 结论

我们研究了振动压电发电机连接到能量收集电路时的最优交流-直流功率输出。与解耦和同相方法[10, 28]提出的估计不同，我们表明功率提取取决于输入振动特性（频率和加速度）、发电机的质量、电负载、固有频率、机械阻尼比以及系统的机电耦合系数。通过式(30)解析地建立了包含所有这些因素的平均收集功率表达式。因此，通过调节电阻、选择合适的工作点或通过优化结构设计调整系统耦合系数来优化功率的方案，完全可以由式(30)指导。此外，强烈建议在未来的所有出版物中提供所有这些参数，以便于不同器件的相对比较。

我们将我们的方法与基于解耦和同相假设的其他方法进行了比较。我们表明，当比值 $\frac{k_e^2}{\zeta }\ll 1$ 时，传统的解耦解是适用的；而当 $\frac{k_e^2}{\zeta }$ 增大时，这些不同方法之间的差异变得显著。图6和图9突显了对于非小比值 $\frac{k_e^2}{\zeta }$，基于解耦解、同相解和解析解计算的归一化位移、电压和功率输出之间的显著差异。我们进行了一系列实验和数值模拟来评估这些方法。我们发现我们的解析解与实验和模拟结果均吻合良好，如图7和图8所示。然而，与实验观测相比，同相解高估了测量得到的电压和功率，并低估了最优负载。

我们特别研究了器件固有频率偏移显著且系统品质因数较大的重要情况，因为正如[5]所指出的，大多数当前的优化方案都忽略了这一点。预计这种频率偏移效应在微型能量收集器中更为显著，因为压电元件对整体结构刚度的贡献远大于体块式发电机。在这种情况下，出现了最优对 $(r_1^{\mathrm{opt}},{\Omega }_1^{\mathrm{opt}})$ 和 $(r_2^{\mathrm{opt}},{\Omega }_2^{\mathrm{opt}})$，其中 ${\Omega }_1^{\mathrm{opt}}$ 接近 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 且 $r_1^{\mathrm{opt}}$ 较小，而 ${\Omega }_2^{\mathrm{opt}}$ 接近 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 且 $r_2^{\mathrm{opt}}$ 较大。表1揭示了在这两个最优功率对处评估的归一化位移、电阻、电压、电流和功率之间的显著差异。最后，对于具有强机电耦合的器件，我们提出了若干设计指南，包括提高直接电池充电效率的建议。

致谢

我们感谢 K C Wu 教授和 C K Lee 教授不断的鼓励和支持。我们感谢 C S Yeh、K C Chen、W J Wu 和 W P Shih 教授提供的许多有益且启发性的讨论。我们感谢经济部在项目编号 94-EC-17-A-05-S1-017 (WHAM-BioS) 下的资助。

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