Shu2006-efficiency_中文翻译

压电能量采集系统的能量转换效率

Y C Shu 和 I C Lien

国立台湾大学应用力学研究所，台北106，中华民国

电子邮件：yichung@spring.iam.ntu.edu.tw

收稿日期：2006年6月22日，最终稿日期：2006年9月7日

发布日期：2006年9月29日

在线网址：stacks.iop.org/JMM/16/2429

摘要

本文研究了整流型压电能量采集器的能量转换效率。提出了一个解析模型，并在稳态运行下推导了效率表达式。此外，还明确建立了转换效率、电诱导阻尼和交流-直流功率输出之间的关系。研究表明，根据耦合的相对强弱，优化准则有所不同。对于弱机电耦合系统，当效率和诱导阻尼达到最大值时，实现最优功率传输。这一结果与近期文献中的观察结果一致。然而，一个新的发现表明，在强耦合机电系统中，它们并不同时达到最大值。

1. 引言

低功耗电子设计与制造技术的进步，为实现自供能微传感器和通信节点提供了可能 [1]。同时，独立为远程系统或嵌入式设备供电的需求，也推动了从各种环境能源（包括太阳能、热梯度和振动）采集电能的研究工作 [2]。在这些能量采集源中，机械振动是一种潜在的动力源，它储量丰富、易于利用，可通过微机电系统（MEMS）技术转换为电能，并且广泛应用于从小型家用电器到大型基础设施的各种场合 [3, 4]。

压电振动-电能转换器作为换能器件备受关注，因为它们具有高机电耦合系数、无需外部电压源，并且在MEMS中的应用尤其具有吸引力 [5–8]。因此，用于从环境振动源采集能量的压电材料近年来在能量采集中的应用急剧增加。这包括使用悬臂梁构型的谐振式压电结构 [9–15] 以及板（膜）构型 [16–19]。其他采集方案包括在海洋或河流水流中使用长条压电聚合物 [20, 21]，使用压电”钹”式换能器 [22, 23]，以及使用压电风车从风能中发电 [24]。

Jeon 等人 [5] 成功开发了首个基于MEMS的微型发电机，采用PZT换能器的{3-3}模式。他们制作了一个170 µm × 260 µm的PZT梁，并观察到在10.1 MΩ负载上最大直流电压为3 V。此外，该发电机的能量密度估计约为0.74 mWh cm⁻²，优于锂离子电池的性能。Roundy 等人 [3] 随后制造了薄PZT结构的原型，目标体积功率密度为$80\mu \mathrm{W}{\mathrm{cm}}^{-3}$。最近，duToit 等人 [25] 为MEMS尺度压电能量采集器提供了深入的设计原则，并提出了一个从低水平振动中产生30 µW cm⁻³的原型。关于小型化压电能量采集装置建模的相关工作可参见 [26–28]。

由于与大型能量采集器相比，MEMS尺度能量采集器的测试、表征和制造并不总是容易实现，因此归一化方案对于比较微尺度能量采集器的性能尤为有用。一种有效的方法是使用机械能到电能的转换效率参数。Umeda 等人 [29, 30] 利用压电振子研究了机械冲击能到电能的转换效率。Goldfarb 和 Jones [31] 随后研究了叠堆构型压电材料将机械谐波激励转换为电能的效率。Roundy [32] 提出了一个有效性表达式，可用于比较各种基于振动的能量采集装置的方法和设计。最近，与通过数值方法研究转换效率的工作 [29] 不同，Richards 等人 [33] 推导了一个解析公式，用于预测交流功率输出情况下压电能量采集器的能量转换效率。由于电子负载需要稳定的直流电压，而振动的压电元件产生的是交流电压，因此所需的输出需要经过整流、滤波和稳压以确保电气兼容性。因此，我们基于 Shu 和 Lien [34] 在第2节中提出的分析，研究了整流型压电能量采集系统的转换效率。我们表明，转换效率取决于频率比、归一化电阻，特别是机电耦合系数与机械阻尼比的比值。一般来说，较大的耦合系数和较小的阻尼可以提高转换效率。最近，Cho 等人 [35, 36] 进行了一系列实验，并通过实验和建模为微机加工压电膜发电机的性能优化提出了一套设计指南。

流程图

graph TD
  A["F(t)"] --> B["M"]
  B --> C["u(t)"]
  C --> D["K"]
  D --> E["ηm"]
  E --> F["压电元件，特征参数为Θ和Cp"]
  G["储能系统"] --> H["稳压器"]
  H --> I["Ce"]
  I --> J["地"]

图1. 压电振动能量采集系统的等效模型。

当能量采集器应用于一个系统时，能量从振动结构中提取出来，供给所需的电子元件，从而导致结构的附加阻尼 [37, 38]。由于效率定义为负载上消耗的时间平均功率与外力做功的时间平均功率之比，因此可以在第3节中明确定义电诱导阻尼，并建立其与转换效率的关系。结果表明，最大化转换效率的负载与最大化诱导阻尼的负载相同。然而，采集功率的提取可能不会同时达到最优。第4节证明优化准则随耦合的相对强度而变化。第5节得出结论。

最后，我们的结果可应用于研究从振动压电采集器对电池充电的问题。研究表明，直接充电将导致较低的转换效率，因为在大多数情况下，电池的等效阻抗与最优负载的阻抗不匹配。Ottman 等人 [39, 40] 开发了一种自适应电路，用于优化从压电元件到储能设备的能量传输。其原理是通过调节负载阻抗以获得更高的功率流来实现负载阻抗适配。基于同步电荷提取的相关工作可参见 [41–44]。

2. 压电能量采集模型

考虑一个包含振动压电结构和储能系统的能量转换装置。如果这种装置的模态密度间隔较大，且结构在其共振频率附近振动，我们可以将发电机建模为质量+弹簧+阻尼+压电结构，如图1所示 [33, 39, 44]。它由一个与机械结构耦合的压电元件组成。在该方法中，一个激励力 $F(t)$ 作用于系统，有效质量 $M$ 连接在有效刚度 $K$ 的弹簧、阻尼系数 ${\eta }_m$ 的阻尼器以及由有效压电系数 $\Theta$ 和电容 $C_p$ 表征的压电元件上。这些有效系数取决于材料常数和能量采集器的设计，并且可以使用标准模态分析推导得出 [25, 38, 45, 46]。

设 $u$ 为质量块 $M$ 的位移，$V_p$ 为压电元件两端的电压。压电振子的控制方程可以描述为 [25, 38, 43, 44]

$$M\ddot{u}(t)+{\eta }_m\dot{u}(t)+Ku(t)+\Theta V_p(t)=F(t),\text{\hspace{1em}(1)}$$ $$-\Theta \dot{u}(t)+C_p{\dot{V}}_p(t)=-I(t),\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中 $I(t)$ 是流入指定电路的电流。由于压电材料在发电中的大多数应用都涉及对压电元件的周期性应变，因此假设振动发电机在共振附近由谐波激励驱动：

$$F(t)=F_0\sin wt,\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中 $F_0$ 是恒定幅值，$w$（弧度/秒）是振动的角频率。

这里考虑的发电机连接到一个储能电路系统，如图1所示。由于电化学电池需要稳定的直流电压，而振动的压电元件产生交流电压，因此需要合适的电路来确保电气兼容性。通常，一个交流-直流整流器后接一个滤波电容 $C_e$ 用于平滑直流电压，如图1所示。在整流器输出和电池之间放置一个控制器来调节输出电压。图2是设计分析中常用的简化能量采集电路。它可以用来估算在给定激励下压电发电机能够提供的实际功率的上限。注意，调节电路和电池用一个等效电阻 $R$ 代替，$V_c$ 是其两端的整流电压。

文本图片

压电振子 I(t) Ce R Vc(t)

图2. 典型的交流-直流采集电路。

折线图

时间 (t)	U(t)	Vp(t)
t0	0	-Vc
t1	-u0	-Vc
t2	0	-Vc
t3	0	-Vc
t4	-u0	-Vc
t5	0	-Vc

图3. 交流-直流功率采集电路中位移 u(t) 和压电电压 $V_p(t)$ 的典型波形。

获得稳定输出直流电压的常用方法是假设滤波电容 $C_e$ 足够大，使得整流电压 $V_c$ 基本恒定 [39]。具体而言，$V_c(t)=⟨V_c(t)⟩+V_{\mathrm{ripple}}$，其中 $⟨V_c(t)⟩$ 和 $V_{\mathrm{ripple}}$ 分别是 $V_c(t)$ 的平均值和纹波。只要时间常数 $R{C}_e$ 远大于发电机的振荡周期，这个平均值 $⟨V_c(t)⟩$ 就与 $C_e$ 无关 [43]。然而，$V_{\mathrm{ripple}}$ 的幅值取决于 $C_e$，并且当 $C_e$ 较大时可以忽略不计。在此假设下，$V_c(t)\approx ⟨V_c(t)⟩$，因此在下面的讨论中，为简化符号，我们使用 $V_c$ 而不是 $⟨V_c(t)⟩$ 来表示 $V_c(t)$ 的平均值。

这里假设图2所示的整流桥是理想的。因此，如果压电电压 $|V_p|$ 小于整流电压 $V_c$，则电路开路。结果，流入电路的电流为零，由式(2)可知，这意味着 ${\dot{V}}_p(t)$ 与 $\dot{u}(t)$ 成比例变化。另一方面，当 $|V_p|$ 达到 $V_c$ 时，整流桥导通，压电电压保持与整流电压相等，即 $|V_p|=V_c$。最后，当压电电压的绝对值 $|V_p(t)|$ 开始下降时，整流二极管再次截止。满足这些性质的 u(t) 和 $V_p(t)$ 的典型波形如图3所示。

为了求解连接图2所示交流-直流电路的方程(1)-(2)，我们首先确定整流电压平均值与位移幅值之间的关系。从图3可以看出，u(t) 的稳态解假设具有以下形式：

$$u(t)=u_0\sin (wt-\theta )\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 $u_0$ 为恒定幅值。设 $T=\frac{2\pi }{w}$ 为振动周期，$t_i$ 和 $t_f$ 为两个时间点 $(t_f-t_i=\frac{T}{2})$，使得位移 u 从最小值 -u0 变化到最大值 $u_0$，如图3所示。假设在半周期 $t_i$ 到 $t_f$ 期间 ${\dot{V}}_p⩾0$。由此可得 ${\int }_{t_i}^{t_f}{\dot{V}}_p(t)\mathrm{d}t=V_c-(-V_c)=2V_c$。注意，在 $t_i<t<t^{\ast }$ 期间（电压 $|V_p|<V_c$）有 $C_e{\dot{V}}_c(t)+\frac{V_c}{R}=0$，而在 $t^{\ast }⩽t<t_f$ 期间（整流器导通）有 $I(t)=C_e{\dot{V}}_c(t)+\frac{V_c}{R}$。由此可得

$$-{\int }_{t_i}^{t_f}I(t)\mathrm{d}t=-\frac{T}{2}\frac{V_c}{R}$$

因为在稳态运行时，流过电容 $C_e$ 的平均电流为零，即 ${\int }_{t_i}^{t_f}{C}_e{\dot{V}}_c(t)\mathrm{d}t=0$。因此，式(2)从时间 $t_i$ 到 $t_f$ 的积分为

$$-2\Theta u_0+2C_p{V}_c=-\frac{T}{2}\frac{V_c}{R},$$

或

$$V_c=\frac{w\Theta R}{w{C}_{p}R+\frac{\pi }{2}}{u}_0.\text{\hspace{1em}(5)}$$

注意，式(5)与文献 [39, 43, 44] 中推导的结果相同。

接下来我们需要求出 $u_0$ 以确定 $V_c$。在近期文献中，对于交流-直流功率采集系统，有两种估计方法 [39, 43, 44]。第一种方法将压电器件建模为电流源与其内部电极电容 $C_p$ 并联 [5, 9, 11, 39]。它基于以下假设：发电机的内部电流源与外部负载阻抗无关。这相当于假设耦合非常弱，并且可以将项 $\Theta V_p$ 从式(1)中省略。另一方面，如果耦合不是那么弱，Guyomar 等人 [43] 和 Lefeuvre 等人 [44] 提供了另一种估计位移幅值的方法，该方法假设外部激励函数与质量块的速度同相位。最近，Shu 和 Lien [34] 提出了一种新方法来确定 u0，无需解耦和同相假设。他们证明这种新估计比另外两种方法更准确。我们在此简要概述推导 $u_0$ 的步骤，因为其中一些步骤需要用于推导能量转换效率。

考虑能量平衡。将式(1)乘以 $\dot{u}(t)$，式(2)乘以 $V_p(t)$。将这两个方程相加后从时间 $t_i$ 到 $t_f$ 积分，得到能量平衡方程

$${\int }_{t_i}^{t_f}F(t)\dot{u}(t)\mathrm{d}t={\int }_{t_i}^{t_f}{\eta }_m{\dot{u}}^2(t)\mathrm{d}t+{\int }_{t_i}^{t_f}{V}_p(t)I(t)\mathrm{d}t,\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中

$${\int }_{t_i}^{t_f}F(t)\dot{u}(t)\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}{F}_0{u}_0\sin \theta ,$$ $${\int }_{t_i}^{t_f}{\eta }_m{\dot{u}}^2(t)\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}{\eta }_{m}w{u}_0^2,\text{\hspace{1em}(7)}$$ $${\int }_{t_i}^{t_f}{V}_p(t)I(t)\mathrm{d}t=\frac{\pi }{w}\frac{V_c^2}{R}.$$

注意，使用式(3)和(4)推导出了式(7)。

目前有方程(5)和(6)以及三个未知数 $u_0$、$V_c$ 和 $\theta$。我们需要第三个方程来求解它们。将式(1)对时间 t 求导并利用式(2)，得到

$$M\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ddot{u}(t)+{\eta }_m\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dot{u}(t)$$ $$+\left(K+\frac{{\Theta }^2}{C_p}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u(t)-\frac{\Theta }{C_p}I(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F(t).\text{\hspace{1em}(8)}$$

将式(8)从 $t_i$ 到 $t_f$ 对时间 t 积分，并利用式(4)，得到第三个方程

$$\left(K-M{w}^2+\frac{{\Theta }^2}{C_p}\right)u_0-\frac{\pi \Theta }{2C_{p}wR}{V}_c=F_0\cos \theta .\text{\hspace{1em}(9)}$$

因此，可以从式(7)和(9)中消去未知变量 $\theta$。这给出

$${\left\{{\eta }_{m}w{u}_0+\frac{2}{wR}\frac{V_c^2}{u_0}\right\}}^2$$ $$+{\left\{\left(K-M{w}^2+\frac{{\Theta }^2}{C_p}\right)u_0-\frac{\pi \Theta }{2C_{p}wR}{V}_c\right\}}^2=F_0^2.\text{\hspace{1em}(10)}$$

由于位移幅值 $u_0$ 与整流电压 $V_c$ 通过式(5)相关联，上述方程(10)可以进一步简化以求解 $u_0$。结果为

$$u_0=\frac{F_0}{{\left\{{\left({\eta }_{m}w+\frac{2w{\Theta }^{2}R}{{\left(C_{p}wR+\frac{\pi }{2}\right)}^2}\right)}^2+{\left(K-w^{2}M+\frac{w{\Theta }^{2}R}{C_{p}wR+\frac{\pi }{2}}\right)}^2\right\}}^{\frac{1}{2}}}.$$

一旦确定了 $u_0$，平均采集功率也可以得到，因为

$$P=\frac{V_c^2}{R}=\frac{w^2{\Theta }^{2}R}{{\left(w{C}_{p}R+\frac{\pi }{2}\right)}^2}{u}_0^2.\text{\hspace{1em}(11)}$$

综上所述，归一化位移 ${\overline{u}}_0$、整流电压 ${\overline{V}}_c$ 和平均采集功率 $\overline{P}$ 可以表示为

$$\overline{u}=\frac{u_0}{\frac{F_0}{K}}$$ $$=\frac{1}{{\left\{{\left(2{\zeta }_m+\frac{2k_e^{2}r}{{\left(r\Omega +\frac{\pi }{2}\right)}^2}\right)}^2{\Omega }^2+{\left(1-{\Omega }^2+\frac{\Omega k_e^{2}r}{r\Omega +\frac{\pi }{2}}\right)}^2\right\}}^{\frac{1}{2}}},\text{\hspace{1em}(12)}$$ $${\overline{V}}_c=\frac{V_c}{\frac{F_0}{\Theta }}=\left(\frac{r\Omega }{r\Omega +\frac{\pi }{2}}\right)$$ $$\times \frac{k_e^2}{{\left\{{\left(2{\zeta }_m+\frac{2k_e^{2}r}{{\left(r\Omega +\frac{\pi }{2}\right)}^2}\right)}^2{\Omega }^2+{\left(1-{\Omega }^2+\frac{\Omega k_e^{2}r}{r\Omega +\frac{\pi }{2}}\right)}^2\right\}}^{\frac{1}{2}}},\text{\hspace{1em}(13)}$$ $$\begin{array}{l}\overline{P}=\frac{P}{\frac{F_0^2}{w_{\mathrm{sc}}M}}=\frac{1}{{\left(r\Omega +\frac{\pi }{2}\right)}^2}\\ \times \frac{k_e^2{\Omega }^{2}r}{\left\{{\left(2{\zeta }_m+\frac{2k_e^{2}r}{{\left(r\Omega +\frac{\pi }{2}\right)}^2}\right)}^2{\Omega }^2+{\left(1-{\Omega }^2+\frac{\Omega k_e^{2}r}{r\Omega +\frac{\pi }{2}}\right)}^2\right\}},\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$

其中引入了几个无量纲变量：

$$k_e^2=\frac{{\Theta }^2}{K{C}_p},{\zeta }_m=\frac{{\eta }_m}{2\sqrt{KM}},w_{\mathrm{sc}}=\sqrt{\frac{K}{M}},\text{\hspace{1em}(15)}$$ $$\Omega =\frac{w}{w_{\mathrm{sc}}},r=C_p{w}_{\mathrm{sc}}R.$$

以上 $k_e^2$ 是替代机电耦合系数¹，${\zeta }_m$ 是机械阻尼比，$w_{\mathrm{sc}}$ 是短路固有频率，$\Omega$ 和 $r$ 分别是归一化频率和电阻。注意，由于压电结构同时具有短路刚度和开路刚度，系统存在两个谐振点。它们定义为

$${\Omega }_{\mathrm{sc}}=1,{\Omega }_{\mathrm{oc}}=\sqrt{1+k_e^2},\text{\hspace{1em}(16)}$$

其中 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 和 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 分别是短路和开路的频率比。注意，如果耦合因子 $k_e^2$ 较大，则器件固有频率的偏移是很显著的。此外，式(12)、(13)和(14)在数值和实验上都得到了验证，并且与文献 [34] 中的其他现有估计结果相比吻合良好。

由于式(14)是用无量纲参数表示的，它可以作为功率归一化方案来比较器件的性能和效率。这对于MEMS尺度发电机的设计特别有用，因为与大型能量采集器相比，微尺度能量采集器的测试、表征和制造并不总是容易实现的。此外，在大多数基于振动的能量采集系统中，振动源是由某种基础的周期性激励引起的。这给出 $F_0=MA$，其中 $A$ 是激励基础的加速度幅值。因此，单位质量的平均采集功率描述为

$$\frac{P}{M}=\frac{A^2}{w_{\mathrm{sc}}}\overline{P}(r,\Omega ,k_e^2,{\zeta }_m).$$

这表明，单位质量的平均采集功率取决于输入振动特性（频率比 $\Omega$ 和加速度 $A$）、归一化电阻 $r$、短路谐振频率 $w_{\mathrm{sc}}$、机械阻尼比 ${\zeta }_m$ 以及系统的总体机电耦合系数 $k_e^2$。因此，通过调节电阻、选择合适的工作点或通过优化结构设计调整耦合系数来优化功率的方案，都可以完全由式(14)指导。

3. 转换效率与电诱导阻尼

机械能到电能的转换效率是比较不同尺寸和不同振动输入的能量采集器的基本参数。如果发电机由式(3)中的谐波激励函数激励，则能量转换效率通常定义为时间平均功率比：

$$\mathrm{eff}=\frac{W^e}{W^{in}},W^e=\int \frac{V_c^2}{R}\mathrm{d}t,W^{in}=\int F(t)\dot{u}\mathrm{d}t,\text{\hspace{1em}(17)}$$

其中 $\int \cdots \mathrm{d}t$ 表示时间平均 [26, 33]。以上 $W^e$ 是负载电阻 $R$ 上消耗的时间平均功率，$W^{in}$ 是外力做功的时间平均功率。式(6)中的能量平衡给出

$$W^{in}=W^m+W^e,W^m=\int {\eta }_m{\dot{u}}^2\mathrm{d}t,$$

其中 $W^m$ 是由于结构阻尼而消耗的时间平均功率。此外，利用式(7)可以得到稳态运行下能量转换效率的表达式。实际上，由式(5)可得

$$\begin{array}{l}\mathrm{eff}=\frac{\frac{\pi }{w}\frac{V_c^2}{R}}{\frac{\pi }{2}{\eta }_{m}w{u}_0^2+\frac{\pi }{w}\frac{V_c^2}{R}}\\ =\frac{2{\left(\frac{V_c}{u_0}\right)}^2}{{\eta }_m{w}^{2}R+2{\left(\frac{V_c}{u_0}\right)}^2}\\ =\frac{2{\Theta }^2{R}^2{w}^2}{{\eta }_m{w}^{2}R{\left(w{C}_{p}R+\frac{\pi }{2}\right)}^2+2{\Theta }^2{R}^2{w}^2}\end{array}\text{\hspace{1em}(18)}$$

它也可以用式(15)定义的无量纲参数表示为

$$\text{eff}=\frac{r\frac{k_e^2}{{\zeta }_m}}{{\left(r\Omega +\frac{\pi }{2}\right)}^2+r\frac{k_e^2}{{\zeta }_m}}.\text{\hspace{1em}(19)}$$

从式(19)可以清楚地看出，转换效率取决于归一化电阻 r、施加的频率比 $\Omega$，尤其是机电耦合系数 $k_e^2$ 与机械阻尼比 ${\zeta }_m$ 的相对大小。然而，在将式(19)用于研究远低于谐振频率的转换效率时需谨慎，因为当前模型中未包含介电损耗项。我们参考了文献 [29]，该文研究了介电损耗对机械冲击能转换为电能效率的影响。

Williams 和 Yates [48] 提出了一个模型来研究动能到电能的转换，但没有指定转换过程的具体机制。其思想基于：从振荡质量块到电能的转换类似于传统质量-弹簧系统中的线性阻尼器。根据他们的模型，系统的总阻尼比可以分解为

$${\zeta }_{\mathrm{tot}}={\zeta }_m+{\zeta }_e,$$

其中 ${\zeta }_e$ 是由于从振动系统中提取机械能而产生的电诱导阻尼比。利用式(19)推导的效率，我们可以确定交流-直流压电能量采集系统的诱导阻尼 ${\zeta }_e$。实际上，如果电气系统对机械系统的影响与振荡质量块的速度成正比，则能量转换效率可以重新定义为

$$\mathrm{eff}=\frac{{\zeta }_e}{{\zeta }_m+{\zeta }_e}\text{\hspace{1em}(20)}$$

因此，由式(19)和(20)，可以求出添加到系统中的诱导阻尼为

$${\zeta }_e=\frac{r{k}_e^2}{{\left(r\Omega +\frac{\pi }{2}\right)}^2}.\text{\hspace{1em}(21)}$$

注意，在小负载电阻时 ${\zeta }_e$ 很小，因为只有很小一部分能量从系统中被提取。在大电负载时它也很小，因为电路表现为开路状态，阻止产生的电荷从压电元件流出。

另一个称为损耗因子的量通常用于比较振动系统的阻尼能力。它定义为每弧度耗散的能量与总应变能之比，并通过下式与小阻尼情况下的总阻尼比相关联：

$$(\text{loss factor}{)}_{\text{tot}}\cong 2{\zeta }_{\text{tot}}=2({\zeta }_m+{\zeta }_e)$$

对于小阻尼值 [49]。因此，由于负载电阻上耗散的能量而添加到系统中的损耗因子为

$$(\text{loss factor}{)}_e\cong 2{\zeta }_e=\frac{2r{k}_e^2}{{\left(r\Omega +\frac{\pi }{2}\right)}^2}.\text{\hspace{1em}(22)}$$

现在我们来研究能量转换的最优效率，这在能量采集器的设计中至关重要。由式(19)，对于固定的 $\Omega$、$k_e^2$、${\zeta }_m$，最大化效率的归一化负载 $r^{\mathrm{eff}}$ 可以根据下式求得

$$\frac{\partial }{\partial r}{\mathrm{eff}\left(r,\Omega ,k_e^2,{\zeta }_m\right)|}_{\Omega ,k_e^2,{\zeta }_m}=0.$$

这给出

$$r^{\text{eff}}=\frac{\pi }{2\Omega }\text{和}{\text{eff}}^{\max }=\frac{\frac{k_e^2}{{\zeta }_m}}{2\pi \Omega +\frac{k_e^2}{{\zeta }_m}}.\text{\hspace{1em}(23)}$$

此外，从式(21)可以证明，在 $r^{\mathrm{eff}}$ 处评估的电诱导阻尼比也达到了最大值，即

$${\zeta }_e{|}_{r=r^{\mathrm{eff}}}={\zeta }_e^{\max }=\frac{k_e^2}{2\Omega \pi }.\text{\hspace{1em}(24)}$$

这反过来给出了电诱导损耗因子的最大值

$$(\text{loss factor}{)}_e^{\max }\cong 2{\zeta }_e^{\max }=\frac{k_e^2}{\Omega \pi }.\text{\hspace{1em}(25)}$$

Lesieutre 等人 [37] 研究了与压电能量采集系统相关的电诱导阻尼，并推导了最大损耗因子的表达式。对于小的 $k_{\text{sys}}^2$ 值，有

$$(\text{loss factor}{)}_e^{\max }=\frac{k_{\text{sys}}^2}{\pi },(\text{Lesieutre et al [37]})\text{\hspace{1em}(26)}$$

其中 $k_{\text{sys}}^2$ 定义为

$$k_{\text{sys}}^2=\frac{{\Omega }_{\text{oc}}^2-{\Omega }_{\text{sc}}^2}{{\Omega }_{\text{oc}}^2}=\frac{k_e^2}{1+k_e^2}.$$

显然，只要耦合系数 $k_e^2$ 很小且施加的频率比 $\Omega \approx 1$，式(25)和(26)几乎相同。注意，Lesieutre 等人 [37] 通过假设最大损耗因子出现在最优功率传输条件下推导出了其表达式。在大多数常见情况下，这一论点通常是正确的，除了比值 $\frac{k_e^2}{{\zeta }_m}$ 较大的情况。我们将在下一节讨论这一点。

4. 讨论

从式(16)可以看出，如果机电耦合系数 $k_e^2$ 较大，则器件固有频率从 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 到 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 的偏移是显著的。这种情况经常发生在压电元件对整体结构刚度的贡献显著的器件中 [25]。此外，在利用{3-3}模式运行的压电微型发电机中，这种频率偏移可能很大，因为压电效应在纵向模式下进一步增强 [5, 25]。从 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 到 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 的固有频率显著偏移的后果导致完全不同的最优功率提取优化方案。Shu 和 Lien [34] 研究了整流型压电能量采集装置的交流-直流功率输出。他们表明，如果 $\frac{k_e^2}{{\zeta }_m}\gg 1$，则平均采集功率在两个不同的电负载和相应的工作点处具有两个相同的峰值，否则只有一个峰值。因此，转换效率、电诱导阻尼和功率传输之间关系的研究必须根据耦合系数与机械阻尼比的相对大小进行分类。

4.1. 弱机电耦合

在下面的讨论中，我们取 $k_e^2=0.16$ 和 ${\zeta }_m=0.03$，这些是设计为悬臂梁类型并在{3-1}模式下运行的压电发电机的典型参数。

转换效率、归一化位移和采集功率随频率比的变化曲线绘制在图4(a)–(c)中，对应不同的归一化电阻。此外，它们随归一化电阻的变化曲线绘制在图4(d)–(f)中，对应不同的频率比。首先考虑图4(a)和(d)。在 $r=0.1$ 的极小负载下，转换效率很小，约为18%，并且随着电阻增大而增加。根据式(23)，它在 $r^{\mathrm{eff}}=\frac{\pi }{2\Omega }=1.57$（对于 $\Omega \approx 1$）处达到最大值

$${\mathrm{eff}}^{\max }\approx \frac{\frac{k_e^2}{{\zeta }_m}}{2\pi +\frac{k_e^2}{{\zeta }_m}}=46\%\text{\hspace{1em}(27)}$$

当负载超过 $r^{\mathrm{eff}}$ 时，转换效率下降。此外，图4(d)中曲线的重叠表明，在弱机电耦合情况下，能量转换效率对频率比不敏感。

接下来考虑图4(b)和(e)。每条位移曲线在谐振附近都有一个峰值，其值取决于电阻。由式(21)，电诱导阻尼 ${\zeta }_e$ 在小电负载和大电负载时都很小，而在 $r^{\mathrm{eff}}$ 处达到最大值，这也对应于发电机的最大转换效率。因此，位移的峰值下降，直到达到与最大诱导阻尼和效率相对应的点。当 r 超过 $r^{\mathrm{eff}}$ 时，诱导阻尼减小，导致位移峰值升高。图4(e)展示了在不同工作点位移对电阻的依赖性。如果器件在其短路谐振附近被激励，位移单调递减；而如果在开路谐振附近被激励，则位移单调递增。如果频率工作在 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 和 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 之间的中点附近，则曲线在接近 $r^{\mathrm{eff}}$ 的转折点处有一个局部最小值，此时诱导阻尼最大。

请注意，我们关于不同电负载下位移随频率比变化行为的理论预测（如图4(b)所示）与 Lesieutre 等人观察到的实验结果定性吻合良好（参见文献[37]中的图6）。

如图4(c)所示，每条采集功率曲线在谐振附近都有一个最大值，其值取决于电阻。与位移相反，功率峰值和电诱导阻尼 ${\zeta }_e$ 随着电负载的增加而同时上升。它在 $r^{\mathrm{eff}}$ 处达到最大值，对应于位移的局部最小值和效率的最大值。之后，当负载超过 $r^{\mathrm{eff}}$ 时，功率峰值下降。最后，图4(f)展示了在变化的频率比下，最大化采集功率的最优负载。在 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 附近运行的频率产生的功率峰值略高于在 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 附近运行的情况。然而，与对频率比不敏感的图4(d)中的转换效率不同，在 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 附近运行时，与最优负载的小幅偏差会导致比在 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 附近运行时更显著的功率下降。

4.2. 强机电耦合

我们在此使用 $k_e^2=1$ 和 ${\zeta }_m=0.025$ 来演示强耦合对效率、阻尼和功率传输之间关系的影响。

转换效率、归一化位移和功率随频率比的变化曲线绘制在图5(a)–(c)中，对应不同的负载电阻。此外，它们随归一化电阻的变化曲线绘制在图5(d)–(f)中，对应不同的频率比。与弱耦合情况不同，平均采集功率在两个不同的电阻和频率处具有两个相同的最优峰值，即

$$\underset{r,\Omega }{\max }\bar{P}(r,\Omega )=\bar{P}(r_1^{\text{ opt }},{\Omega }_1^{\text{ opt }})=\bar{P}(r_2^{\text{ opt }},{\Omega }_2^{\text{ opt }}),\text{\hspace{1em}(28)}$$

其中

$$\left(r_1^{\text{ opt }},{\Omega }_1^{\text{ opt }}\right)=(0.07,1.02),\text{\hspace{1em}(29)}$$ $$\left(r_2^{\text{ opt }},{\Omega }_2^{\text{ opt }}\right)=(18.27,1.39).$$

显然，${\Omega }_1^{\mathrm{opt}}$ ≈ ${\Omega }_{\mathrm{sc}}=1,{\Omega }_2^{\mathrm{opt}}$ ≈ ${\Omega }_{\mathrm{oc}}=1.41$，如图5(c)所示；$r_1^{\mathrm{opt}}\ll 1,r_2^{\mathrm{opt}}\gg$ 1，如图5(f)所示。与图4(c)相比，当负载超过 $r_1^{\mathrm{opt}}$ 时，采集功率的峰值下降，而电诱导阻尼 ${\zeta }_e$ 增加。这些峰值的包络线

折线图

频率比	r:0.1	r:0.25	r:0.5	r:π/2	r:5	r:10	r:20
0.9	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
0.95	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.0	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.05	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.1	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.15	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.2	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.25	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.3	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.35	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.4	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.45	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.5	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.55	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.6	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.65	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.7	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.75	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.8	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.85	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.9	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
1.95	0.3	0.4	0.4	0.4	0.3	0.4	0.2
2.0	-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-	-
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-	-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-	-
…	… …	… …	… …	… …	…	…	…

折线图

归一化电阻	Ω:1.016	Ω:1.024	Ω:1.032	Ω:1.039	Ω:1.047	Ω:1.055	Ω:1.062
0	0.45	0.45	0.45	0.45	0.45	0.45	0.45
4	0.38	0.38	0.38	0.38	0.38	0.38	0.38
8	0.32	0.32	0.32	0.32	0.32	0.32	0.32
12	0.26	0.26	0.26	0.26	0.26	0.26	0.26
16	0.21	0.21	0.21	0.21	0.21	0.21	0.21
20	0.18	0.18	0.18	0.18	0.18	0.18	0.18

折线图

频率比	r:0.1	r:0.25	r:0.5	r:π/2	r:5	r:10	r:20
0.9	~3.5	~3.8	~4.0	~3.6	~3.7	~3.4	~3.2
0.95	~6.0	~6.5	~7.0	~6.2	~6.8	~6.0	~5.5
1.0	~10.0	~11.0	~12.0	~10.5	~11.5	~10.0	~9.5
1.05	~13.0	~12.5	~11.5	~10.0	~9.5	~9.0	~8.5
1.1	~10.0	~9.5	~8.5	~7.5	~6.5	~6.0	~5.5
1.15	~6.0	~5.5	~4.5	~3.8	~3.2	~3.0	~2.8
1.2	~3.5	~3.2	~2.8	~2.5	~2.2	~2.0	~1.8

折线图

归一化电阻	Ω:1.016	Ω:1.024	Ω:1.032	Ω:1.039	Ω:1.047	Ω:1.055	Ω:1.062
0	14.0	13.5	13.0	12.5	12.0	11.5	11.0
4	8.5	9.0	9.5	9.8	9.7	9.6	9.4
8	7.8	9.5	10.0	10.2	10.1	10.0	9.8
12	7.5	10.0	10.5	10.7	10.6	10.5	10.2
16	7.3	10.5	11.0	11.2	11.1	11.0	10.7
20	7.2	11.0	11.5	11.7	11.6	11.5	11.2

折线图

频率比	r:0.1	r:0.25	r:0.5	r:π/2	r:5	r:10	r:20
0.9	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25
0.95	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5
1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0
1.05	1.75	1.75	1.75	1.75	1.75	1.75	1.75
1.1	1.25	1.25	1.25	1.25	1.25	1.25	1.25
1.15	0.75	0.75	0.75	0.75	0.75	0.75	0.75
1.2	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25

(c)

折线图

归一化电阻	Ω:1.016	Ω:1.024	Ω:1.032	Ω:1.039	Ω:1.047	Ω:1.055	Ω:1.062
0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0
2	1.8	1.9	2.0	2.1	2.2	2.3	2.4
4	1.5	1.7	1.8	1.9	2.0	2.1	2.2
6	1.2	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9
8	0.9	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6
10	0.7	0.9	1.0	1.1	1.2	1.3	1.4
12	0.5	0.7	0.8	0.9	1.0	1.1	1.2
14	0.4	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	1.1
16	0.3	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
18	0.25	0.45	0.55	0.65	0.75	0.85	0.95
20	0.2	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9

图4. 弱机电耦合，参数为 $k_e^2=0.16$ 和 ${\zeta }_m=0.03$：（a）、（b）和（c）为在不同电阻下转换效率、位移和功率随频率比的变化曲线，而（d）、（e）和（f）则为在不同频率比下上述量随电阻的变化曲线。

存在一个局部极小值，与最大感应阻尼 ${\zeta }_e$ 密切相关。当负载进一步增加时，功率峰值随后上升到第二个最大值，这与公式(29)所描述的 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 紧密对应。图5(f)展示了对于多种频率比，收集功率与归一化电阻之间的关系。通过将施加频率从 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 变化到 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ ，可以实现这两个峰值之间的切换，分别对应 $r_1^{\mathrm{opt}}$ 和 $r_2^{\mathrm{opt}}$ 。这表明在强耦合情况下选择正确工作点的重要性。

在强耦合情况下，转换效率对频率以及负载电阻的依赖关系与弱耦合情况定性相似。但转换效率的数值要高得多。

折线图

频率比	r:0.067	r:0.15	r:0.3	r:1.058	r:4	r:8	r:18.27
0.8	0.9	0.85	0.8	0.75	0.7	0.65	0.5
1.0	0.85	0.8	0.75	0.7	0.65	0.6	0.45
1.2	0.8	0.75	0.7	0.65	0.6	0.55	0.4
1.4	0.75	0.7	0.65	0.6	0.55	0.5	0.35
1.6	0.7	0.65	0.6	0.55	0.5	0.45	0.3

(a)

折线图

归一化电阻	Ω:1.021	Ω:1.140	Ω:1.212	Ω:1.265	Ω:1.304	Ω:1.342	Ω:1.394
0	0.85	0.85	0.85	0.85	0.85	0.85	0.85
5	0.78	0.77	0.76	0.75	0.74	0.73	0.72
10	0.72	0.70	0.69	0.68	0.67	0.66	0.65
15	0.68	0.66	0.65	0.64	0.63	0.62	0.61
20	0.64	0.62	0.61	0.60	0.59	0.58	0.57
25	0.60	0.58	0.57	0.56	0.55	0.54	0.53

(d)

折线图

频率比	r:0.067	r:0.15	r:0.3	r:1.058	r:4	r:8	r:18.27
0.8	~2.0	~1.5	~1.0	~0.8	~0.7	~0.6	~0.5
1.0	~9.5	~6.5	~4.5	~3.0	~2.5	~2.0	~1.5
1.2	~3.0	~2.5	~2.0	~1.5	~1.0	~0.8	~0.6
1.4	~1.0	~0.8	~0.6	~0.5	~0.4	~0.3	~0.2
1.6	~0.5	~0.4	~0.3	~0.2	~0.1	~0.1	~0.1

(b)

折线图

归一化电阻	Q:1.021	Q:1.140	Q:1.212	Q:1.265	Q:1.304	Q:1.342	Q:1.394
0	10.0	3.8	2.5	2.0	1.5	1.2	1.0
5	2.5	3.5	3.0	2.8	2.2	2.0	1.8
10	3.0	4.0	3.5	3.2	2.8	2.5	2.3
15	3.5	4.5	4.0	3.8	3.2	3.0	2.8
20	4.0	5.0	4.5	4.2	3.8	3.5	3.2
25	4.5	5.5	5.0	4.8	4.2	4.0	3.8

(e)

折线图

频率比	r:0.067	r:0.15	r:0.3	r:0.58	r:4	r:8	r:18.27
0.8	~0.1	~0.1	~0.1	~0.1	~0.1	~0.1	~0.1
1.0	~2.5	~2.2	~1.8	~1.5	~1.0	~0.5	~0.3
1.2	~0.5	~1.5	~1.2	~1.0	~0.5	~0.3	~0.2
1.4	~0.2	~2.5	~2.2	~2.0	~2.5	~2.0	~1.8
1.6	~0.1	~0.2	~0.2	~0.2	~0.2	~0.2	~0.2

(c)

折线图

归一化电阻	Ω:1.021	Ω:1.140	Ω:1.212	Ω:1.265	Ω:1.304	Ω:1.342	Ω:1.394
0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0
5	1.5	1.7	1.8	1.9	2.0	2.1	2.2
10	1.0	1.2	1.4	1.6	1.8	2.0	2.3
15	0.5	0.7	0.9	1.1	1.3	1.5	2.4
20	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2	2.5
25	0.1	0.2	0.4	0.5	0.7	0.9	2.4

(f) 图5. 强机电耦合，参数为 $k_e^2=1$ 和 ${\zeta }_m=0.025$：（a）、（b）和（c）为在不同电阻下转换效率、位移和功率随频率比的变化曲线，而（d）、（e）和（f）则为在不同频率比下上述量随电阻的变化曲线。

这是因为 $k_e^2$ 相对于 $\frac{k_e^2}{{\zeta }_m}$ 的比值较大。我们当前的示例表明 ${\mathrm{eff}}^{\max }$ 约为 90%，远大于弱耦合情况下的 46%（见 (27) 式）。此外，在强机电耦合中，最大化转换效率的条件并不能导致最大的功率传输；相反，它与功率包络的局部极小值密切相关。如图5(d)和(f)所示，在最优发电条件下，转换效率取值较小，约为 50%。

最后，我们考察图5(b)和(e)。与弱耦合情况相比，强耦合情况下感应电阻尼效应更为显著，因为由(21)式可知，${\zeta }_e$ 与 $k_e^2$ 成正比。因此，在最大感应阻尼处，位移峰值的包络线出现局部极小值，其值远小于第一个峰值。图5(b)表明，在最大感应阻尼处，位移峰值从大约 10 下降到 2，而弱耦合情况（图4(b)）则呈现较平缓的下降。与功率不同，由于在开路条件下系统具有更大的阻尼，因此这些峰值中由 $r$ 较大时 ${\zeta }_e$ 减小导致的第二个最大值小于第一个最大值。最后，与弱耦合情况的结果相比，通过比较图5(b)、(c)与图4(b)、(c)可以看出，在 ${\Omega }_{\mathrm{sc}}$ 和 ${\Omega }_{\mathrm{oc}}$ 附近评估得到的两个明显的位移峰值对应于最大功率提取，而非位移包络线的局部极小值点。

5. 结论

5. 结论

本文建立了整流型压电能量采集器中能量转换效率、电诱导阻尼和功率传输之间的关系。提出了一个解析模型，并在稳态运行下推导了转换效率的精确公式。研究表明，效率取决于归一化电阻 r、频率比 $\Omega$，特别是机电耦合系数 $k_e^2$ 与机械阻尼比 ${\zeta }_m$ 的相对大小。一般来说，大的 $\frac{k_e^2}{{\zeta }_m}$ 可以实现高能量转换效率；Cho 等人 [35, 36] 最近研究了微机加工压电膜采集器中耦合系数 $k_e^2$ 的改善。

基于转换效率的推导公式，得到了由于从振动结构中提取机械能而添加到系统中的诱导阻尼。研究表明，在弱机电耦合情况下，最大转换效率对应于最大电诱导阻尼以及最优功率传输。这一结果与 Lesieutre 等人 [37] 的观察结果一致。

然而，与文献 [37] 不同，一个新的发现表明，在强耦合机电系统中，最大化转换效率和电诱导阻尼的最优电负载与最大化采集功率的负载非常不同。这导致了完全不同的优化方案，因为如果 $\frac{k_e^2}{{\zeta }_m}\gg 1$，采集功率在两个不同的电负载和相应的工作点处具有两个相同的峰值，否则只有一个峰值。

致谢

我们感谢经济部在项目编号94-EC-17-A-05-S1-017 (WHAM-BioS)下的支持。

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